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Addition


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Dieser Artikel behandelt die Addition in der Für den gleichnamigen Reaktionsmechanismus in der organischen siehe Addition (Chemie) .
Die Addition (v. lat ad-dare = dazugeben) ist der vier Grundrechenarten in der Arithmetik . Unter Addieren versteht man " Zusammenzählen " beim Rechnen.

Das Zeichen für die Addition ist Pluszeichen " + ". Zum Beispiel: 2 + 3 = 5 wird gelesen als "zwei plus (und) gleich fünf".

Die zwei oder mehr Zahlen die werden heißen Summanden ; das Ergebnis heißt Summe .

Es gelten folgende elementare Rechengesetze :

  • Assoziativgesetz (der Addition): (x + y) z = x + (y + z) x + y + z
  • Kommutativgesetz (der Addition): x + y = + x
  • das neutrale Element ist 0: a + 0 =
  • das inverse Element zu a ist -a

Das Gegenteil der Addition ist die Subtraktion (Abziehen). Sie wird oft als Addition einer negativen Zahl aufgefasst. Um beliebig addieren subtrahieren zu können muss man die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitern.

Inhaltsverzeichnis

Addition in verschiedenen Mengen

Die Addition kann ohne Ausnahme innerhalb Mengen der natürlichen der ganzen der rationalen und der reellen Zahlen ausgeführt werden. Auch andere Mengen wie die der komplexen Zahlen besitzen eine Verknüpfung die als Addition bezeichnet wird weil sie denselben formalen genügt.

Addition nennt man eine Reihe mathematischer Verknüpfungen alle die folgenden Eigenschaften haben:

In den meisten Fällen ergibt die zusammen mit ihrer Definitionsmenge eine abelsche Gruppe . Wichtigste Ausnahme ist die Addition auf natürlichen Zahlen wegen der wie oben erwähnt fehlenden (negative Zahlen).

Die Addition auf den natürlichen Zahlen definiert sich folgendermaßen:

  • <math>a + 0 = a \quad\quad a \in N</math>
  • <math>a + b^{+} = (a + \quad\quad \forall a b \in N</math>
<math>a^{+}</math> bedeutet hier den Nachfolger von a (also a +1; aber dieser Ausdruck wird hier ja erst definiert).

Schriftliche Addition

Die Schriftliche Addition ist eine der grundlegenden Kulturtechniken die bereits in den ersten Schuljahren wird. In dem im westlichen Kulturkreis vorherrschenden Stellenwertsystem sind dabei nur zwei Teiltechniken zu Die Addition einstelliger Zahlen und das Handhaben Überträge.

Verfahren

Die zu addierenden Zahlen werden so geschrieben dass entsprechende Stellen untereinander stehen. Die werden also rechtsbündig angeordnet. Nun beginnt man man nur die letzten Ziffern der Zahlen und von diesem Zwischenergebnis die letzte Ziffer Einerstelle des Endergebnisses notiert. Ist das Zwischenergebnis so werden die anderen Stellen in die Addition mit einbezogen.

Nun wird die vorletzte Ziffer unter der Zehnerstelle des vorherigen Zwischenergebnisses aufaddiert. Wieder die letzte Ziffer des neuen Zwischenergebnisses als des Endergebnisses vermerkt und ein Übertrag gebildet.

Dieser Vorgang wird solange nach links fortgeführt bis die vorderste Stelle erreicht ist.

Beispiel

 69 193  482   

9+3+2=14 ergibt als Einerstelle 4 und als Übertrag 1-.

  1-   69 193  482  4  

1 +6+9+8=24 ergibt als Zehnerstelle 4 und als Übertrag 2--. Anschließend erzeugt 2 +1+4=7 die Hunderterstelle.

  2--  1- 69 193  482  744  

Geübte Kopfrechner können sich durch Umsortieren Rechnen mit zweistelligen Unterteilungen viel Rechenzeit sparen. z. B. weiß dass sich 23+77 und jeweils zu 100 ergänzen wird in der Rechnung die zweite und dritte Zeile tauschen:

 365 123 235  277  1000  

weitere Notationsmöglichkeiten

Wenn nicht alle zu summierende Ausdrücke ausgeschrieben werden kann man die fehlenden Ausdrücke Auslassungspunkten (…) markieren. Die Summe der natürlichen von 1 bis 100 kann also als + 2 + … + 99 + geschrieben werden.

Außerdem können Summen auch mittels Summensymbol großen griechischen Buchstaben Sigma notiert werden.

<math> \sum_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} x_{m+2} + ... + x_{n-1} + x_n

Unter das Sigma wird die Zähl variable (in diesem Fall i ) und der Startwert geschrieben. Über dem steht der Endwert. Zum Beispiel:

<math> \sum_{i=2}^6 i^2 = 2^2 + 3^2 4^2 + 5^2 + 6^2 = 90</math>

Bildet man eine Summe aus unendlich Ausdrücken wird diese unendliche Reihe genannt. Man schreibt dafür als Obergrenze Symbol für Unendlichkeit (∞).

Der Umgang mit diesem Symbol sowie häufig vorkommende Summen werden im Artikel Summe beschrieben.



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