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Approximation


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Approximation (lat. proximus -a -um der/die/das Nächste) bezeichnet im mathematischen Sinn eine Näherung.

Es vor allem gibt zwei Gründe Näherungen zu untersuchen: einmal könnte das Objekt Interesses nur implizit also als Lösung einer Gleichung gegeben Ist die Gleichung schwer zu lösen will auf einfacherem Wege eine Näherung der Lösung Auf der anderen Seite kann ein explizit gegebenes mathematisches Objekt nur schwer handhabbar Dann ist eine Approximation aus einfachen Gebilden

Beide Szenarien treten besonders häufig in numerischen Mathematik auf und so ist die Approximationstheorie elementares Teilgebiet beziehungsweise Hilfsmittel dieser Disziplin da computergestützte Lösungsverfahren beschleunigen oder erst möglich machen

Von zentraler Bedeutung bei Approximationen ist Begriff der Norm . Man approximiert eine Funktion immer bezüglich bestimmten Norm. Im Allgemeinen fällt die Näherungslösung verschiedenen Normen unterschiedlich aus. Wichtig ist es Fehler der durch die Approximation entsteht abschätzen können um deren Qualität zu beurteilen. Dies nicht immer einfach und die große Kunst der Approximationstheorie.

Von besonderem Interesse ist die Approximation Funktionen . Beispielsweise für Näherungslösungen von schwer lösbaren Differentialgleichungen oder zur Vereinfachung von gegebenen Funktionen. bietet sich häufig die Approximation mit Polynomen an welche einfach ableitbar integrierbar und ausrechenbar sind. Die Grundlage für Approximation mit Polynomen schuf Weierstraß mit seinem Approximationssatz der besagt daß stetige Funktion gleichmäßig mit trigonometrischen Polynomen approximiert kann.

Ein anderes wichtiges Beispiel ist die von irrationalen Zahlen wie der Kreiszahl Pi.

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