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Automorphismus


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In der Mathematik ist ein Automorphismus eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:

  1. sie bildet eine Struktur in sich ab
  2. sie ist bijektiv
  3. sie ist ein Homomorphismus
  4. ihre Umkehrfunktion ist ein Homomorphismus.
Oder kürzer: sie ist ein Isomorphismus einer Struktur in sich selbst.

Man beachte dass bei Gruppen Ringen Vektorräumen und einigen anderen Strukturen die vierte aus den anderen dreien folgt man im jedoch nicht auf sie verzichten kann was Artikel Homöomorphismus an einem Beispiel gezeigt wird.

Beispiele

In der Gruppentheorie ist ein Automorphismus einer Gruppe G ein bijektiver Homomorphismus von G nach G . Automorphismen sind zum Beispiel:

  • in ( Z +) die Negation x -> - x
  • in ( R \{0} *) die Kehrwertbildung x -> 1/ x
  • in einer Gruppe ( G *) die Inversion x -> x -1
  • in ( C +) die komplexe Konjugation
  • in einer Gruppe ( G *) die Konjugation mit g aus G : x -> g -1 *x*g

In der Graphentheorie ist ein Automorphismus eines Graphen eine der Knoten die den Graphen auf sich abbildet (die permutierten Knoten sind durch dieselben verbunden wie die ursprünglichen). zum Beispiel geht Graph

1 --- 2 3 --- 4 
durch Vertauschen der Knoten 1 und in diesen Graphen über
2 --- 1 3 --- 4 
Diese Operation ist ein Automorphismus. Vertauscht jedoch im ersten Graphen die Knoten 2 3 erhält man diesen Graphen
1 --- 3 2 --- 4 
der nun andere Kanten als der hat also ist diese Vertauschung kein Automorphismus.

Automorphismengruppe

Die Menge aller Automorphismen einer Struktur X zusammen mit der Komposition von Funktionen bildet eine Gruppe die genannte Automorphismengruppe von X geschrieben als Aut( X ). Einzusehen ist das ganz leicht:

  • Abgeschlossenheit: Die Komposition zweier Bijektionen ist Bijektion und die Komposition zweier Homomorphismen ist Homomorphismus.
  • Assoziativität ist bei der Komposition immer
  • neutrales Element : Die identische Abbildung x -> x ist ein Automorphismus.
  • inverses Element : Das Inverse eines Automorphismus ist seine Umkehrfunktion die auch ein Automorphismus ist.

Wenn es möglich ist Elemente einer zu nehmen und mit ihnen Automorphismen zu dann unterscheidet man zwischen

  • inneren Automorphismen
  • äußeren Automorphismen

Für eine Gruppe G ist ein innerer Automorphismus ein Automorphismus f g : G -> G der Form f g ( h ) = g -1 hg (das ist die Konjugation mit g ). Die inneren Automorphismen bilden einen Normalteiler von Aut( G ) der mit Inn( G ) bezeichnet wird.

Siehe auch: Morphismus



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