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Brunsche Konstante


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Schon der griechische Mathematiker Euklid bewies dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Seit Jahrhunderten verzweifeln Mathematiker am ob es denn nun auch unendlich viele Primzahlpaare gibt oder nur endlich viele.

Wie man beweisen kann divergiert die Reihe und mit ihr auch die Reihe Kehrbrüche der Primzahlen 2 3 5 7 13 17 19 23 29 31 37 43 47 53 59 61... .

Demhingegen konvergiert die Reihe aller Kehrbrüche Primzahlpaare 3 5 7 11 13 17 29 31 41 43 59 61... gegen Konstante. Diese beträgt in etwa 1 90216054 aber nicht hundertpozentig gesichert ist. Die Zahl benannt nach dem Mathematiker Viggo Brun der erstmals näherungsweise ausrechnete.

<math>B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)
+ \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} \frac{1}{31}\right) + \cdots</math>

Diese Berechnung ist über alle Maßen so beträgt der Wert für die Primzahlpaare ca. 1.000.000.000.000 nur ungefähr 1 82.

Die Tatsache dass die (unendliche?) Reihe der reziproken der Primzahlpaare konvergiert ist kein Beweis dafür dass nur endlich viele existieren wie man an der harmonischen Reihe Kehrbrüche aller natürlichen Zahlen sieht welche ebenfalls

Analog kann man die Summe aller der Primzahl-Quadrupel berechnen:

<math>B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} \frac{1}{13}\right)
+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} \frac{1}{109}\right) + \cdots</math>

Diese Summe hat folgenden Wert:

B 4 = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005.



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