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Carmichael-Zahl


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Die Carmichael-Zahl benannt nach dem Mathematiker Robert Daniel Carmichael ist eine spezielle Form der Pseudoprimzahl für die gilt: Eine Carmichael-Zahl  n ist pseudoprim zu allen Basen die Teiler von n sind.

Inhaltsverzeichnis

Das Theorem von A.Korselt

1899 stellte A.Korselt ein Theorem auf:

Es existieren ungerade natürliche Zahlen n für die gilt dass sie alle n -a (für alle natürlichen a ) ohne Rest dividieren wenn n quadratfrei ist.
und
Für alle Primteiler p von n gilt dass die Zahl (p-1) die (n-1) teilt.
Korselt selbst hat so eine Zahl gefunden.

Robert Daniel Carmichael

Robert Daniel Carmichael hat dann 1910 mit 561 die erste Zahl gefunden den Eigenschaften des Theorems von Korselt entspricht. Carmichael wurden dann auch später diese Zahlen

Carmichael-Zahlen allgemein

Neben den oben Aufgeführten Bedingungen für von Korselt gilt für alle Carmichael-Zahlen daß aus mindesten drei Primfaktoren zusammengesetzt sein müssen.

Die kleinste Carmichael-Zahl ist die 561. die 561 gilt also: 561 ist nicht pseudoprim zu 3 11 17 33 und 187 welches alle Teiler von 561

Seit 1992 weiß man das unendlich Carmichael-Zahlen existieren.

 Die ersten 36 Carmichael-Zahlen --------------------------------------------------------------------------------------- 561 3 * 11 * 17 52633 = * 73 * 103 294409 = 37 73 * 109 1105 = 5 * * 17 62745 = 3 * 5 47 * 89 314821 = 13 * * 397 1729 = 7 * 13 19 63973 = 7 * 13 * * 37 334153 = 19 * 43 409 2465 = 5 * 17 * 75361 = 11 * 17 * 31 = 13 * 17 * 23 * 2821 = 7 * 13 * 31 = 7 * 11 * 13 * 399001 = 31 * 61 * 211 = 7 * 23 * 41 115921 13 * 37 * 241 410041 = * 73 * 137 8911 = 7 19 * 67 126217 = 7 * * 19 * 73 449065 = 5 19 * 29 * 163 10585 = * 29 * 73 162401 = 17 41 * 233 488881 = 37 * * 181 15841 = 7 * 31 73 172081 = 7 * 13 * * 61 512461 = 31 * 61 271 29341 = 13 * 37 * 188461 = 7 * 13 * 19 109 530881 = 13 * 97 * 41041 = 7 * 11 * 13 41 252601 = 41 * 61 * 552721 = 13 * 17 * 41 61 46657 = 13 * 37 * 278545 = 5 * 17 * 29 113 656601 = 3 * 11 * * 197  

Carmichael-Zahlen nach J.Chernik


J. Chernik fand 1939 ein relativ einfaches System um Carmichael-Zahlen konstruieren:

Eine Zahl <math>M_3(m) = (6m + 1)(12m 1)(18m + 1)</math> ist dann eine Carmichael-Zahl alle 3 Faktoren <math>(6m + 1)</math> <math>(12m 1)</math> und <math>(18m + 1)</math> Primzahlen sind .
" Sei p > 3 eine Primzahl derart auch 2p-1 und 3p-2 Primzahlen sind dann n = p(2p-1)(3p-2) eine Carmichael-Zahl " ist dazu äquivalent

Die folgenden Carmichael-Zahlen haben diese Struktur:

 p (2p-1) (3p-2) M 3 (m) (6m + 1) (12m + 1) + 1) m -------------------------------------------------------------- 1729 = 7 13 * 19 1 M 3 (1) 294409 = 37 * 73 * 6 M 3 (6) 56052361 = 211 * 421 * 35 M 3 (35) 118901521 = 271 * 541 * 45 M 3 (45) 172947529 = 307 * 613 * 51 M 3 (51) 216821881 = 331 * 661 * 55 M 3 (55) 228842209 = 337 * 673 * 56 M 3 (56) 1299963601 = 601 * 1201 * 100 M 3 (100) 2301745249 = 727 * 1453 * 121 M 3 (121) 9624742921 = 1171 * 2341 * 195 M 3 (195) 11346205609 = 1237 * 2473 * 206 M 3 (206) 13079177569 = 1297 * 2593 * 216 M 3 (216) 21515221081 = 1531 * 3061 * 255 M 3 (255) 27278026129 = 1657 * 3313 * 276 M 3 (276)  

Das Bildungsgesetz

<math>M_3(m) = (6m + 1)(12m + 1)(18m 1)</math>
lässt sich verallgemeinern:
<math>M_k(m) = (6m + 1)(12m + 1)\prod_{i=1}^{k-2}(9 2^im+1)</math>.
Dieses Bildungsgesetz hat allerdings noch eine Einschränkung: Abgesehen davon dass alle Faktoren Primzahlen müssen gilt zusätzlich dass für <math>(36*2^jm+1)</math> die m durch 2 j teilbar sein muss.

Die kleinste Carmichaelzahl mit mehr als die sich mit dem oben beschriebenen Bildungsgesetz lässt ist die <math>M_4(1) 63973 = 7 13 * 19 * 37</math>.

 M 4 (m) (6m + 1) (12m + 1) + 1) (36m + 1) m ---------------------------------------------------------------------------- = 7 * 13 * 19 * 1 M 4 (1) 192739365541 = 271 * 541 * * 1621 45 M 4 (45) 461574735553 = 337 * 673 * * 2017 56 M 4 (56) 10028704049893 = 727 * 1453 * * 4357 121 M 4 (121) 84154807001953 = 1237 * 2473 * * 7417 206 M 4 (206) 197531244744661 = 1531 * 3061 * * 9181 255 M 4 (255) 973694665856161 = 2281 * 4561 * * 13681 380 M 4 (380)  

Carmichael-Zahlen nach Richard G. E. Pinch

Richard G. E. Pinch fand einen anderen Weg um Carmichael-Zahlen zu konstruieren:

Ein Produkt dreier Primzahlen der Form (7m+1)*(8m+1)*(11m+1) dann eine Carmichael-Zahl wenn fuer m gilt:
  • <math>m \equiv 326 \mod 616</math>
  • m muss durch 3 teilbar sein
  • zu einem gueltigen m muss ein natuerliches k existieren so das m =(1848k+942)
Das gilt für (12936k+1)*(14784k+7537)*(20328k+10363) mit folgendem k

m (7m+1) (8m+1) (11m+1)
k (1848k+942) (12936k+6595) (14784k+7537) (20328k+10363)
13 24966 174763 199729 274627
123 228246 1597723 1825969 2510707
218 403806 2826643 3230449 4441867
223 413046 2891323 3304369 4543507
278 514686 3602803 4117489 5661547
411 760470 5323291 6083761 8365171
513 948966 6642763 7591729 10438627
551 1019190 7134331 8153521 11211091
588 1087566 7612963 8700529 11963227

Weitere k sind: 733 743 796 928 1168 1226 1263 1401 1533 1976 2013 2096 2138 2241 2376 2556 2676 3626 3703 3718 3971 4008 4121 4138 4188 4211 4313 4423 4653 4656 4901 5278 5411 5423 5538 5776 5863 5908 6283 6623 6753 6933 7501 7688 7986 8398 8476 8651 8651 8816 8916 8923

Für k=10 329 -4624879 die eine 1000 stellige Carmichael-Zahl erzeugt sich die drei folgenden Faktoren:

(12936*10 329 -59827428149)(14784*10 329 -68374203599)(20328*10 329 -94014529949)



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