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Charakteristik (Mathematik)


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Charakteristik ist ein mathematischer Begriff aus der Ring- und Körpertheorie . Davon zu unterscheiden ist der mathematische Charakter .

Definition: Charakteristik eines Rings

In der Algebra gibt die Charakteristik eines Ringes R mit 1 an wie oft man Einselement 1 R aufaddieren muss damit die Summe gleich Nullelement 0 R wird.

 1  R   + 1  R   + ... + 1  R   = 0  R   \________________/ | n mal ==> char( R ) = n  

Hat keine endliche Summe von Einsen Wert 0 R dann sagt man der Ring hat Charakteristik 0. Eine übliche Abkürzung der Charakteristik R ist char( R ).

Die Charakteristik des Ringes R ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze n für die R einen Teilring hat der isomorph zum Restklassenring Z / n Z ist. (Beachte dass Z /0 Z = Z ist.)

Beispiele und Eigenschaften

Der Restklassenring Z / n Z hat die Charakteristik n .

Sind R und S Ringe mit 1 und gibt es Ringhomomorphismus R -> S dann ist die Charakteristik von S ein Teiler der Charakteristik von R .

Für einen Integritätsring (und insbesondere einen Körper ) ist die Charakteristik entweder 0 oder Primzahl .

Jeder geordnete Körper (z.B. die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen ) hat die Charakteristik 0.

Ist R ein Teilring mit 1 von S dann haben R und S dieselbe Charakteristik. Zum Beispiel ist für irreduzibles Polynom g über dem Restklassenkörper Z /p Z vom Grad n der Faktorring ( Z /p Z )[X]/(g) ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper GF(p n )) der Z /p Z enthält und also die Charakteristik p Da die komplexen Zahlen die rationalen enthalten ist auch ihre 0.

Jeder Körper der Charakteristik 0 ist

Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik. Beispiel den Körper der rationalen Funktionen über Z /p Z . Ein anderes Beispiel ist der algebraische Abschluss von Z /p Z .

Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik p eine Potenz von p. Denn in diesem enthält er den Teilkörper Z /p Z und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt dass die Ordnung des dann eine Potenz von p ist.

Daraus folgt dass jeder endliche Vektorraum Mächtigkeit eine Primzahlpotenz hat da dieser dann endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper sein (und (p n ) m ist selbst eine p-Potenz).

Ist R ein Integritätsring mit Primzahlcharakteristik p dann ( x + y ) p = x p + y p für alle x y in R . Die Abbildung f ( x ) = x p definiert einen injektiven Ringhomomorphismus R -> R . Er heißt Frobenius-Homomorphismus .

Die Charakteristik



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