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Deformation


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Unter Deformation (lat.: deformis hässlich von lat.: de von; forma Schönheit) auch Verzerrung versteht man in der Physik (speziell der Kontinuumsmechanik ) die Veränderung der gegenseitigen Lagebeziehungen der Bausteine eines Festkörpers. Diese Änderung der inneren korrespondiert mit einer Änderung der äußeren Form/Gestalt Festkörpers.

Inhaltsverzeichnis

Deformation und Hookesches Gesetz

Bei der Deformation geht es um Beschreibung der Gestaltsänderung des Festkörpers das hookesche Gesetz stellt dann eine Beziehung zwischen der und den sie verursachenden Kräften (genauer: mechanischen Spannungen ) her. Die Beschreibung von Verzerrungen ist eine Voraussetzung zur allgemeinen Behandlung von Verspannungen der verallgemeinerten Form des hookeschen Gesetzes. Das Gesetz gilt nur im Falle der linearen elastischen Deformation .

Beschreibung der Deformation

Die Beschreibung der Deformation erfolgt am im Modell eines homogenen isotropen Kontinuums (d.h. als Deformation eines idealisierten Mediums in allen Punkten (homogen) und in allen (isotrop) die gleichen Eigenschaften aufweist). Eine Anwendung reale Materie ist dann durch Berücksichtigung zusätzlicher Einschränkungen

Eindimensionale Deformation

Ein Spezialfall der Deformation ist die eines Stabs. Dieser Spezialfall lässt sich ebenso die Stauchung eines Zylinders eindimensional beschreiben (d.h. die Spannung ist in einer Raumrichtung verschieden von Null). Kennzeichnend die Deformation ist in diesem Fall die <math>\Delta l=l'-l</math> der Länge des Stabs. Dabei <math>l</math> die Länge vor und <math>l'</math> die der Deformation. Die resultierende Deformation ist mehrdimensional der Körper auf diese Deformation mit einer seines Durchmessers reagiert Querkontraktion .

Deformation allgemein

Im Allgemeinen genügt zur Beschreibung der nicht die Angabe einer Längenänderung sondern es die Änderung von Höhe Breite und Tiefe berücksichtigen. Aber auch dieser Effekt ist nicht das gesamte Volumen des Festkörpers gleich: Zieht z.B. einen Kaugummie in die Länge so er bei der Verlängerung nicht über seine Länge gleichmäßig dünner sondern die Verjüngung ist der Mitte besonders ausgeprägt.

Daher muss zur Beschreibung der Deformation Änderung von Höhe Breite und Tiefe für Punkt des Kontinuums angegeben werden. Statt Änderung Höhe Breite und Tiefe spricht man hier von

Dehnung in <math>x</math>- <math>y</math>- und <math>z</math>-Richtung
am Punkt <math>P</math> mit den Kartesischen Koordinaten <math>x</math> <math>y</math> und <math>z</math>.
Eine definitive Angabe dieser Werte für Punkt des Festkörpers ist jedoch praktisch unmöglich. jedoch die Deformation an benachbarten Punkten des nicht unabhängig voneinader erfolgt lässt sich die der Deformation auf diese Abhängigkeiten zurückführen. Diese definieren drei verschiedene Arten der Deformation:

Die Elastische Deformation

Nach elastischer Deformaton kehrt der Körper dem Ausbleiben der für die Deformation verantwortlichen Belastung wieder in seine Ausgangsform zurück.

Beschreibung und Behandlung der elastischen Deformation im Modell der Verzerrung des elastischen Kontinuums . In diesem Modell lässt sich die eines jeden Punktes eines Festkörpers als Verschiebung Punktes des elastischen Kontinuums beschreiben.

Die Lineare Elastische Deformation

Dieser Fall erlaubt die maximale Vereinfachung Beschreibung und wird auch häufig angewandt wenn Voraussetzung der Elastizität und der Linearität nur erfüllt sind.

Bei der linearen elastischen Deformation ist Verschiebung benachbarter Punkte des Kontinuums proportional zum dieser Punkte. Sind die Punkte <math>P_1</math> und zwei Punkte des Kontinuums im Abstand <math>\vec so besteht bei der linearen Deformation für Änderung <math>\Delta \vec d</math> des Abstands <math>\vec der lineare Zusammenhang

<math>\Delta \vec d(\vec r)=\frac{\partial\vec d}{\partial x}x+\frac{\partial\vec d}{\partial d}{\partial z}z</math>.
Die (vektoriellen) Differentialquotienten
<math>\frac{\partial\vec d}{\partial x}=
\begin{pmatrix}
 \frac{\partial d_x}{\partial x} \\ \frac{\partial d_y}{\partial \\ \frac{\partial d_z}{\partial x}  
\end{pmatrix} y z\; \rm{dito } </math> dabei die Abhängigkeit der Verschiebung eines Punktes Kontinuums von dessen Position (relativ zu einem Bezugssystem) wieder. Bei <math>\Delta \vec d(\vec r)</math> es sich um eine lineare Vektrofunktion die als Tensorgleichung dargestellt werden kann:
<math>\Delta \vec d(\vec r)=\tilde\epsilon^*\cdot\vec r=
\begin{pmatrix}
 \epsilon^*_{xx} & \epsilon^*_{xy} & \epsilon^*_{xz} \\ & \epsilon^*_{yy} & \epsilon^*_{yz} \\ \epsilon^*_{zx} & & \epsilon^*_{zz}  
\end{pmatrix}\cdot\vec r. </math>

Die Spaltenvektoren von <math>\tilde\epsilon^{\ *}</math> sind die Differentialquotienten <math>\frac{\partial\vec d}{\partial x}</math> <math>\tilde\epsilon^{\ *}</math> ist ein Tensor 2. Stufe.

Die vektorielle Abstandsänderung <math>\Delta \vec d</math> beiden Punkte <math>P_1</math> und <math>P_2</math> enhält neben Änderung des Betrags des Abstands auch eine der gegenseitigen Orientierung der beiden Punkte. Dieser ist bei der Betrachtung der Deformation nicht Interesse und wird daher separiert. Den reinen representiert der symmetrische Teil von <math>\tilde\epsilon^{\ *}</math>

<math>\tilde\epsilon=
\begin{pmatrix}
 \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & & \epsilon_{zz}  
\end{pmatrix} </math>

mit den Komponenten

<math>
\begin{matrix} &\epsilon_{xx}=\frac{\partial d_x}{\partial x} \; \epsilon_{yy}=\frac{\partial y} \; \epsilon_{zz}=\frac{\partial d_z}{\partial z} \; \epsilon_{xy}=\epsilon_{yx}=\frac12\left(\frac{\partial y}+ \frac{\partial d_2}{\partial x}\right) \\ &\epsilon_{yz}=\epsilon_{zy}=\frac12\left(\frac{\partial d_y}{\partial \frac{\partial d_3}{\partial y}\right) \; \epsilon_{zx}=\epsilon_{xz}=\frac12\left(\frac{\partial d_z}{\partial x}+ d_1}{\partial z}\right). \end{matrix} </math>

Die lineare Verzerrung des elastischen Kontinuums also durch die Angabe von lediglich sechs festgelegt! Für die reine Verzerrung <math>\Delta \vec (ohne Rotationsanteil) gitlt:

<math>\Delta \vec d_0(\vec r)=\tilde\epsilon\cdot\vec r.</math>

Hinweis: An das kontinuierliche Medium wird lediglich die Bedingung gestellt dass es in Punkt stetig differenzierbar ist.

Die Nichtlineare Elastische Deformaiton

Bei der nichtlinearen elastischen Deformation ist Verschiebung benachbarter Punkte des Kontinuums nicht proportional Abstsand dieser Punkte. Die nichtlineare elastische Deformation z.B. an Gummi beobachtet werden. In diesem Fall kann hookesche Gesetz nicht angewandt werden. Diese Situation in der Natur die Regel. Wo möglich versucht dieses Problem in einer linearen Näherung zu behandeln. Insbesondere für kleine Deformationen ist diese Näherung häufig gerechtfertigt.

Die Plastische Deformation

In realen Medien ist jede Deformation bis zu einer gewissen Grenze elastisch. Wird Grenze überschritten so tritt plastische Deformation (plastisches auf. Bei der plastischen Deformaton kehrt der mit dem Ausbleiben der für die Deformation mechanischen Belastung nicht wieder in seine Ausgangsform In diesem Fall genügt die Angabe der von Punkten des Festkörpers nicht mehr zur des Zustands des Festkörpers sondern es muss der Prozess berücksichigt werden d.h. <math>\tilde\epsilon</math> ist diesem Fall keine Zustandsgröße .

Im allgemeinen Fall kann die Deformation <math>\tilde\epsilon</math> angegeben werden. Die Gesamtdeformation <math>\tilde\epsilon</math> setzt aus einem elastischen Anteil <math>\tilde\epsilon^{\ \rm E}</math> plastischen Anteil <math>\tilde\epsilon^{\ \rm P}</math> und dem Anteil zusammen:

<math>
\tilde\epsilon = \tilde\epsilon^{\ \rm E} + \rm P} + \alpha \cdot T \cdot . </math>

Elastisch-plastisches Materialverhalten kann beschrieben werden durch Fließbedingung ein Fließgesetz und ein Verfestigungsgesetz.

Fließbedingung

Die Fließbedingung legt all diejenigen mehrachsigen Spannungszustände fest denen das Material plastisch fließt. Es ist die Fließbedingung als eine konvex gekrümmte Fläche Spannungsraum anzugeben die Fließortfläche heißt. Für Spannungszustände dem von der Fließortfläche umschlossenen Raum deformiert Material elastisch die Spannungszustände auf der Fließortfläche plastisches Fließen Spannungszustände außerhalb des umschlossenen Raums nicht auftreten.

Einige der heute verwendeten Fließbedingungen die metallische Werkstoffe verwendet werden können sind von Huber und von Mises sowie von Tresca worden. Beide Regeln gelten nur für isotrope

Die Fließbedingung nach R. v. Mises

<math>0 = \frac{3}{2} \tilde{s}^T\cdot\tilde{s} - k_{\rm f}^2</math>
wobei <math>\tilde{s}</math> den Spannungsdeviator und <math>k_{\rm die Streckgrenze bezeichnet. Der Spannungsdeviator ist der um hydrostatischen Anteil reduzierte Spannungstensor
<math>\tilde{s}=\tilde\sigma-p\cdot e\ \textrm{mit}\ p = \frac{\sigma_x + + \sigma_z}{3}</math>.

Nach Tresca ist die Fließbedingung:

<math>0 = \frac{\sigma_I-\sigma_{II}}{2}- k_f</math>
mit <math>\sigma_I</math> und <math>\sigma_{II}</math> der größten kleinsten Hauptnormalspannung. Für eine graphische Interpretation der Regel können die Mohrschen Spannungskreise herangezogen werden.

Beide Formulierungen wrden häufig angewendet. Die von v. Mises ist im allgemeinen Fall anzuwenden. Wenn die Lage des Hauptachsensystems bekannt wird oft mit der Trescaschen Regel gerechnet. numerisches Rechnen hat diese die Nachteile dass eine Haupachsentransformation nötig ist und dass der nicht stetig differenzierbar ist.

Fließgesetz

Das Fließgesetz verknüpft die plastischen Verzerrungsinkremente mit den Spannungen und den Spannungsinkrementen infolge des Fließens. heute allgemein anerkannte Fließgesetz ist nach von benannt und besagt dass der Spannungsinkrementvektor normal der Fließortfläche steht.

Verfestigungsgesetz

Das Verfestigungsgesetz legt fest auf welche Weise die während des Fließens modifiziert wird. Idealisiert kann zwei unterschiedlichen Verfestigungsverhalten ausgegangen werden dem isotropen kinematischen Verfestigen.

Durch isotropes Verfestigen kann das Materialverhalten werden wenn es von der vorhergehenden Belastungsrichtung ist bzw. wenn sich die Belastungsrichtung nicht Das isotrope Verfestigen wird durch Expansion der ausgedrückt. Das heißt die Streckgrenze <math>k_f</math> steigt von der aufgebrachten Verformung um einen gewissen an.

Durch kinematisches Verfestigen kann z.B. der beschrieben werden d.h. die Streckgrenze ist bei in Gegenrichtung deutlich niedriger als während der Belastung. Dieses Phänomen kann durch Verschieben der beschrieben werden. Die Streckgrenze <math>k_f</math> bleibt dabei es verändert sich nur der "Mittelpunkt des (back stress) <math>\tilde{a}</math>. In der Fließregel muss die Fließspannung durch die „reduzierte Spannung” <math>\hat\tilde{s}=\tilde\sigma-\tilde{a}</math> werden.

Deformation Realer Materie

Reale Materie ist im Allgemeinen weder noch isotrop. Sie ist aus Bausteinen (Atome Ionen quasifreie Elektronen) aufgebaut die keine gleichmäßige aufweisen.

Homogenität

Auf atomarer Ebene sind die physikalischen der Materie nicht homogen sondern ortsabhängig und unabhängig ob es sich dabei um ein Gas eine Flüssigkeit oder einen Festkörper handelt. z.B. Massedichte oder auch Ladungsdichte variieren zwischen den ( Moleküle eines Gases Ionenrümpfe eines Kristallgitters Elektronen des Leitungsbands etc) und schon diese Bausteine selbst im Allgemeinen nicht als homogen betrachtet werden.

In der Praxis können diese Schwankungen atomarer Ebene jedoch häufig vernachlässigt werden und kann als homogen angesehen werden wenn sie ihren Eigenschaften auf makroskopischen Längenskalen gleichförmig ist.

Isotropie

Auf atomarer Ebene gilt zunächst Vergleichbares Homogenität: Wenn ich von einem Materiebaustein aus verschiedenen Richtungen die Umgebung betrachte so sieht ungleichmäßig aus: mal schaue ich genau auf nächsten Nachbarn mal schaue ich zwischen diesen Sind diese Bausteine jedoch unregelmäßig angeordnet (Gas oder amorpher Festkörper) so mitteln sich diese heraus und makroskopisch kann solche Materie als angesehen werden.

Eine Besonderheit stellen Kristalle dar. Dort sind die Bausteine in Gitter angeordnet. Dies führt dazu dass sich physikalischen Eigenschaften auch makroskopisch in unterschiedlichen Richtungen können. Zusätzlich zu den Forderungen der Kontinuumsmechanik dann noch Bedingungen hinzu die sich aus Symmetrie des jeweiligen Gitters ergeben (z.B. hat Kristall der eine hexagonale Kristallstruktur aufweist in Richtung der c-Achse (das ist die sechszählige Achse des Hexagons ) eine unterschiedliche Festigkeit als senkrecht dazu.) sich aber metallische Werkstoffe aus einer Vielzahl Kristallen zusammensetzen (die werden dann Kristallite genannt) die makroskopisch messbare Anisotropie von der Vorzugsrichtung Kristallite abhängig.



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