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Diagonale (Lineare Algebra)


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In der linearen Algebra ist eine Diagonale einer quadratischen Matrix eine Linie die schräg durch das geht. Die Hauptdiagonale verläuft von oben links nach unten die Nebendiagonale von oben rechts nach unten links.

Verschiebt man die Hauptdiagonale nach rechts unten so erhält man Linien die man Nebendiagonalen nennt. Eine nach rechts verschobene Nebendiagonale man obere Nebendiagonale eine nach unten verschobene nennt man untere Nebendiagonale .

Formal aufgeschrieben hat eine <math>n \times <math>A = (a_{ij})_{i j=1 ... n}</math> folgende

die Hauptdiagonale <math>(a_{ii}) i=1 ... n</math>
die Nebendiagonale <math>(a_{i n+1-i}) i=1 ... n</math>
die k -te obere Nebendiagonale <math>(a_{i+k i}) i=1 ...
die k -te untere Nebendiagonale <math>(a_{i i+k}) i=1 ...

Spricht man nur von der k -ten Nebendiagonale meint man meist die k -te obere Nebendiagonale. Die unteren Nebendiagonalen werden mit Hilfe negativer Werte von k bezeichnet.

Eine quadratische Matrix die 1 auf Hauptdiagonale und sonst nur 0 hat nennt Einheitsmatrix .

Die Transponierte einer quadratischen Matrix erhält man indem das Koeffizientenschema an der Hauptdiagonalen spiegelt.

Beispiele

Dies ist eine 4×4-Matrix die 1 der ersten oberen Nebendiagonale und sonst 0

<math>A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ & 0 & 0 & 1\\ 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Die transponierte Matrix <math>A^T</math> hat die auf der ersten unteren Nebendiagonale.

Dies ist eine 4×4-Matrix die 1 der Nebendiagonale und sonst 0 hat:

<math>B = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ & 1 & 0 & 0\\ 1 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Die transponierte Matrix <math>B^T</math> stimmt mit überein.

Eine Verallgemeinerung ist die Hauptdiagonale einer <math>n \times m</math>-Matrix <math>A=(a_{ij})_{i=1 ... n j=1 m}</math>. Sie besteht aus den Elementen <math>a_{ii}</math>.



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