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Differentialgeometrie


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Die Differentialgeometrie beschäftigt sich mit der Anwendung der auf die Geometrie . Insbesondere behandelt sie den Begriff des Differentials und wie mit seiner Hilfe geometrische Strukturen beschrieben werden können.

Die Differentialgeometrie ist auf geometrische Strukturen für die eine Metrik definiert ist. Über eine Metrik können Abstände und Verbindungslinien zwischen Punkten definiert werden. Die Differentialgeometrie liefert Werkzeuge Längen von Kurven oder Inhalte gekrümmter Flächen berechnet werden können. Insbesondere liefert sie wie eine gekrümmte Fläche in einer Ebene dargestellt werden kann.

Darüber hinaus beschäftigt sie sich mit geometrischen Objekten wie beispielsweise gekrümmte Flächen oder Räumen die mehr als 3 Dimensionen haben. Dadurch bietet sie sich als für Gebiete wie die Theoretische Physik die Topologie die Vermessungskunde oder die Getriebelehre an.

Eine Verallgemeinerung der Differentialgeometrie ist die In allgemeinen topologischen Räumen entfällt der Abstandbegriff da dort keine definiert ist.

Inhaltsverzeichnis

Das Differential

Der Begriff des Differentials wird in klassischen Differentialgeometrie nicht exakt definiert. Man appelliert an die Anschauung in dem man Differentiale infinitesimale (sehr kleine) Differenzen betrachtet.

Als Beispiel betrachte man den euklidischen Abstand in der Ebene er wird der Differentialgeometrie folgendermaßen ausgedrückt: <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2</math>.

Ein wichtiger Begriff der Differentialgeometrie ist Metrische Tensor . In dem Abschnitt Metrischer Tensor der Ebene wird gezeigt wie sich Abstände in Ebene mit Hilfe des metrischen Tensors ausdrücken

Eine weitere Anwendung des Differentials ist Darstellung von Ableitungen einer Funktion .

Im folgenden werden einige Beispiele angegeben die Bedeutung und Verwendung des Differentials im mit Ableitungen zu verdeutlichen.

Man betrachte z.B. eine differenzierbare reellwertige Funktion f einer reellen Variablen x .

Für diese Funktion ist die Ableitung

<math>f'=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math>
definiert. Die Gleichung
<math>\mathrm{d}f=f'\mathrm{d}x</math>
drückt das Differential d f der Funktion f mit Hilfe ihrer Ableitungsfunktion f' und des Differentials d x aus.

Oft wird auch das Argument x der Funktion f mit angegeben:

<math>\mathrm{d}f(x)=f'(x)\mathrm{d}x</math>

Man bezeichnet das Symbol d auch Differentialoperator.

Damit kann d in verschiedenen Kontexten Bedeutung haben d kann einen infinitesimalen Abstand oder als Differentialoperator auf eine Funktion angewendet werden.

Für reellwertige Funktionen f ( x 1 x 2 x 3 ) die von mehreren reellen Parametern x i abhängen wählt man oft die Darstellung

<math>\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i </math>
wobei über den Index i summiert wird.

Die partielle Ableitung von f nach x i wird beschrieben durch <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}.</math> werden alle Variable mit Ausnahme von x i als konstant betrachtet nach x i wird unter diesen Voraussetzungen differenziert.

In der mathematischen Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten werden Differentiale präzise definiert allerdings ist verwendete Formalismus sehr abstrakt.

Das Rechnen mit Differentialen wird im genannten Differentialformenkalkül präzisiert.

Koordinatentransformationen

Koordinaten transformationen sind ein wichtiges Werkzeug der Differentialgeometrie die Anpassung einer Problemstellung an geometrischen Objekte ermöglichen.

Will man Abstände auf einer Kugeloberfläche untersuchen so wird man Kugelkoordinaten verwenden man euklidische Abstände im Raum so verwendet man Koordinaten.

Ein einfacheres Beispiel ist der Übergang kartesischen Koordinaten in der Ebene zu Polarkoordinaten denen man eine Kreislinie einfacher beschreiben kann.

<math>f(r \Phi)=(r\cos \Phi r\sin \Phi) = (x

Die Koordinaten (x y) berechnen sich aus <math>(r \Phi)</math> folgendermaßen:

  • <math>x(r \Phi) = r\cos \Phi</math>
  • <math>y(r \Phi) = r\sin \Phi</math>

x und y werden auch als Komponentenfunktionen von f bezeichnet. Hierfür lassen sich die (totalen) angeben:

<math>\mathrm{d}x=\frac{\partial x}{\partial r}\mathrm{d}r +\frac{\partial x}{\partial \phi}\mathrm{d}\phi = \phi \mathrm{d}r - r\sin \phi \mathrm{d} \phi</math>
<math>\mathrm{d}y=\frac{\partial y}{\partial r}\mathrm{d}r +\frac{\partial y}{\partial \phi}\mathrm{d}\phi = \phi \mathrm{d}r + r\cos \phi \mathrm{d} \phi</math>

Man bezeichnet d x d y d r <math>\mathrm{d}\phi</math> als Koordinatendifferentiale . Bei diesem Beispiel fällt die Bedeutung d als Differentialoperator mit der Bedeutung eines Abstandes zusammen.

Kugelkoordinaten werden auch als krummlinige Koordinaten bezeichnet da sie die Abstandberechnung auf gekrümmten Fläche der Kugeloberfläche ermöglichen.

Ein wesentliches Hilfsmittel der klassische Differentialgeometrie Koordinatentransformationen zwischen beliebigen Koordinaten um geometrische Strukturen zu können. Oft werden krummlinige Koordinaten verwendet.

Die aus der Analysis bekannten Differentialoperatoren werden auf krummlinige Differentialoperatoren erweitert.

kovariante Ableitung

Ein krummliniger Differentialoperator ist z.B. die kovariante Ableitung die im Riemannschen Raum verwendet wird.

Krummlinige Differentialoperatoren ermöglichen die Definition von in gekrümmten Räumen z.B. die Definition von im Riemannschen Raum. Geodätische Linien sind die Verbindungen zwischen zwei Punkten auf der Kugeloberfläche die Längenkreise Beispiele für geodätische Liníen nicht die Breitenkreise (Ausnahme: Äquator).

Mit Hilfe allgemeiner Koordinatentransformationen werden im Raum die Christoffelsymbole <math>\Gamma^\mu_{\alpha\beta}</math> definiert.

Die Christoffelsymbole gehen in die Definition kovarianten Ableitung eines Vektorfeldes ein.

Die kovariante Ableitung ist eine Verallgemeinerung partiellen Ableitung des flachen (euklidischen) Raumes für gekrümmte Sie reduziert sich im euklidischen Raum zur partiellen Ableitung. Im gekrümmten Raum die kovarianten Ableitungen eines Vektorfeldes im Allgemeinen miteinander vertauschbar ihre Nichtvertauschbarkeit wird zur Definition Riemannschen Krümmungstensors verwendet.

Ein weiterer wichtiger Begriff im Zusammenhang gekrümmten Räumen ist die Parallelverschiebung. Die Parallelverschiebung Vektors entlang einer geschlossenen Kurve führt im Raum dazu dass sich der verschobene Vektor seinem Ausgangsvektor nicht deckt.

Anwendungsfelder

Anwendung findet die klassische Differentialgeometrie in Allgemeinen Relativitätstheorie . Sie ermöglicht die Voraussage von Phänomenen durch das Experiment bestätigt werden ( Lichtablenkung Periheldrehung des Merkur ).

Koordinatentransformationen entsprechen in der Relativitätstheorie Wechsel von Bezugssystemen aus denen heraus Phänomen beobachtet wird. Dies entspricht unterschiedlichen Sichtweisen ein Ereignis.

Die klassische Differentialgeometrie wurde auch schon in der Geodäsie und Kartographie angewendet. Beispiel ist hier unter anderem Kartenprojektionslehre aus der die Begriffe geodätische Linie und Gauss 'sche Krümmung stammen.

Literatur

  • T. Fliessbach: Allgemeine Relativitätstheorie BI Wissenschaftsverlag 1990

Verwendet Differentialgeometrie ohne Bezug auf Mannigfaltigkeiten. Die der Darstellung wird von manchen Autoren auch "klassische Differentialgeometrie" bezeichnet. Das Buch ist komprimiert und übersichtlich gegliedert. Zum tieferen Verständnis sind Bücher von Stephanie Weinberg und Wheeler hilfreich.

  • Norbert Straumann: Allgemeine Relativitätstheorie und relativistische Astrophysik Springer-Verlag 1988

Zum Verständnis benötigt man Kenntnisse über Topologie und Metrische Räume und über differenzierbare Mannigfaltigkeiten . Vorbereitende Literatur ist das Studium des Tensorkalküls der multi linearen Algebra und das nachfolgend angegebene Buch über Differentialformen .

  • E. Heil: Differentialformen BI Wissenschaftsverlag 1974

Eine Einführung in die Analysis und wie mit Hilfe von Differentialformen beschrieben werden kann. Buch ist hilfreich für das Verständnis differenzierbarer Es ist (relativ) leicht verständlich geschrieben.

  • Rolf Walter: Differentialgeometrie BI Wissenschaftsverlag 1989

Differentialgeometrie aus dem Blickwinkel der modernen Mathematik. einem Kapitel über Riemannsche Geometrie .

  • Charles W. Misner Kip.S.Thorne John Archibald Wheeler: Gravitation W.H.Freeman and Company New York 1973

Eine Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie auf Basis des Differentialformenkalküls (auf Englisch). Ein sehr Werk mit mehr als 1000 Seiten.

  • Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology John Wiley Sons New York 1972

Ein sehr umfassendes Werk (auf Englisch). Im zu "Wheeler" verwendet Weinberg die geometrische Interpretation Relativitätstheorie nicht.

  • Hans Jörg Dirschmid: Tensoren und Felder; Springer; New Yorg; 1996.

Ausgehend von der Theorie der linearen Räume Schritt für Schritt die Differentialgeometrie entwickelt insoweit für die Allgemeine Relativitätstheorie Nötig ist. Das der sechs Kapitel beschäftigt sich mit der Relativitätstheorie.

  • Manfred P.do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen Vieweg & Sohn 1983

Beschreibt die so genannte elementare Differentialgeometrie. Enthält Abschnitt über Parallelverschiebung.

  • H. Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie : eine Einführung in die des Gravitationsfeldes . Berlin: Dt. Verl. d. Wiss. 1977.

Mit Kapiteln über Riemannsche Geometrie Tensoralgebra und Ableitung Krümmungstensor und Differentialoperatoren.

Weblinks



Bücher zum Thema Differentialgeometrie

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