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Differentialgleichung


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Eine Differentialgleichung auch Differenzialgleichung oft abgekürzt als DGL ist eine Gleichung die eine Funktion F(x) und eine oder mehrere Ableitungen dieser Funktion enthält. Um eine Differenzialgleichung lösen muss eine Funktion gefunden werden die Differentialgleichung genügt.

Inhaltsverzeichnis

Anwendungen

Differenzialgleichungen werden oft benötigt um Vorgänge beschreiben bei denen die Veränderung einer Größe sie selbst bestimmt wird.

Das Zerfallsgesetz in der Physik etwa besagt dass die Anzahl der Zeiteinheit zerfallenden Atome einer Menge instabiler Atome der gesamten Anzahl N der vorhandenen Atome abhängt. Insofern ist Abnahme der Anzahl der Atome proportional zur aller Atome:

<math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}N(t) = c\; N(t). </math>
Durch Berechnen der Funktion N(t) aus dieser Differentialgleichung kann die Anzahl Atome zu jedem Zeitpunkt bestimmt werden.

Ein anderes einfaches Beispiel ist der harmonische Oszillator mit der Differenzialgleichung

<math> m\;a = m\; \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x(t) = \; x(t). </math>
Die gesuchte Funktion ist hier die x(t) deren zweite zeitliche Ableitung als Beschleunigung aus den Bewegungsgesetzen stammt.

Theorie

Differentialgleichungen werden nach unterschiedlichen Kriterien klassifiziert. schließen sich die folgenden Klassifikationen nicht gegenseitig aus.

Weiterhin ist es in der Theorie Differentialgleichungen üblich auch Systeme von Differentialgleichungen als aufzufassen. Solche Systeme liegen vor wenn mehrere vorliegen in denen gleichzeitig mehrere Funktionen und Ableitungen zusammenwirken.

Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen

Die in der Differenzialgleichung gesuchte Funktion f kann von einer Variablen x oder mehreren ( x = ( x 1 x 2 ... x n ) in Vektorschreibweise) abhängen. Im ersten Falle man von einer gewöhnlichen im letzteren Falle einer partiellen Differentialgleichung . Hierbei ist implizit angenommen dass Ableitungen allen vorkommenden Variablen auftreten; andernfalls spricht man Parametern . Aus dem Englischen kommend werden die Abkürzungen ODE (ordinary equation) und PDE (partial differential equation) für und partielle Differenzialgleichungen benutzt. Bei partiellen Differentialgleichungen man zwischen hyperbolischen (z.B. die Wellengleichung ) parabolischen (z.B. die Wärmeleitungsgleichung) und elliptischen die Poisson-Gleichung) Differentialgleichungen. Anschaulich betrachtet unterscheiden sich Typen durch die Art der Ausbreitung von in der Lösung.

Ordnung einer Differentialgleichung und Ordnungsreduktion

Die Ordnung einer Differentialgleichung ist durch Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung gegeben. Gewöhnliche beliebiger Ordnung lassen sich immer in gewöhnliche erster Ordnung umwandeln:

Sei
<math>y^{(n)}(t)=f(t y(t) y'(t) y (t) \dots y^{(n-1)}(t))</math>
eine gewöhnliche Differentialgleichung n ter Ordnung. Dann werden folgende Hilfsfunktionen eingeführt:
<math>u_k(t)=y^{(k)}(t) \quad k \in {0 \dots

Wir erhalten dadurch ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen 1.Ordnung:
<math>u'_0(t)=u_1(t)</math>
<math>u'_1(t)=u _0(t)=u_2(t)</math>
<math>\dots</math>
<math>u'_{n-1}=u _{n-2}= \dots = u^{(n)}_0=y^{(n)}=f(x y u_0 u_1 u_{n-1}).</math>

Lineare Differentialgleichungen

Die Theorie der linearen Differentialgleichungen ist wichtiger Teilbereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Lineare Differentialgleichungen sich oft mit Standardmethoden lösen.

Eine lineare Differentialgleichung ist ein lineares gewöhnlicher Differentialgleichungen. Man unterscheidet lineare Differentialgleichungen mit oder konstanten Koeffizienten und hat in jedem dieser beiden homogene und inhomogene Problemstellungen.

Das Lösen von Differentialgleichungen

Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer Funktion (oder im Falle eines Systems von mehrere Funktionen). Es ist jedoch nicht jede lösbar es gibt allerdings einige Kriterien anhand man Lösbarkeit erkennen kann. Ferner reicht die allein im Allgemeinen nicht aus um die eindeutig zu bestimmen.

Beispielsweise werden alle schwingenden Pendel durch Differentialgleichung beschrieben und der generelle Bewegungsablauf folgt dem gleichen Prinzip. Der konkrete Bewegungsablauf ist durch die Rand- oder Anfangsbedingung(en) (wann wurde das Pendel angestoßen und weit) bestimmt.

Nur wenige Typen von Differentialgleichungen lassen analytisch lösen. Insbesondere partielle Differentialgleichungen können oft mit numerischen Methoden approximiert werden.

Die Menge aller Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung bildet ein dynamisches System auch Fluss der Differentialgleichung genannt.

Spezielle Lösungsmethoden

Neben linearen Systemen lassen sich Differentialgleichungen separierbar sind durch direkte Integration lösen.

Manche Typen von Differentialgleichungen lassen sich Potenzreihen lösen.

Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen

Die Laplace-Transformation eignet sich aufgrund ihres Differentiationssatzes u.a. Differentialgleichungen zu lösen. Dazu transformiert man die in den Frequenzraum löst die so erhaltene Gleichung und transformiert die Lösung in den zurück.

Spezielle Differentialgleichungen

Riccati-Gleichung
Bernoulli-Gleichung
Navier Stokes Gleichungen

Numerische Verfahren

Numerische Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen

Da sich gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung auf Systeme erster Ordnung reduzieren lassen geht bei der Konstruktion von numerischen Lösungsverfahren im von einem System erster Ordnung aus:

<math>\dot{x}(t)=f(t x(t)) \; f x:\mathbb{R}^{n} \mapsto

Zum Beispiel ist das Runge-Kutta-Verfahren ein weitverbreitetes numerisches Verfahren zur Lösung Differentialgleichungen.

Numerische Verfahren für partielle Differentialgleichungen

Die meist benutzten Verfahren sind die der finiten Differenzen der finiten Elemente und der finiten Volumen .

Siehe auch: Integralgleichung



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