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Differentialoperator


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Ein Differentialoperator ist in der Mathematik die Interpretation einer Ableitungsvorschrift als Operator der auf eine Funktion angewendet wird. Das Ergebnis ist wiederum Funktion. So kann d/dx in

<math>{d \over dx}f={df\over dx}</math>

als ein solcher Operator interpretiert werden. lassen sich miteinander verknüpfen. Durch Weglassen der auf die sie wirken erhält man auf Weise reine Operatorgleichungen (Operatorkalkül) wie beispielsweise

<math>{d \over dx}{d \over dx}={d^2\over dx^2}.</math>

Differentialoperatoren dienen in der Praxis vor zur abkürzenden Schreibweise von Differentialgleichungen .

Beispiele

  • Differentialoperatoren der partiellen Ableitung einer Funktion nach einer von mehreren beispielsweise

<math>\partial_x={\partial \over \partial x} </math>

sowie Kombinationen wie beispielsweise

<math>\partial_{xy}=\partial_x\partial_y.</math>

<math>\vec{\nabla} =
\left(\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z}\right).</math>

Er wird für die Formulierung des Gradienten der Divergenz und der Rotation verwendet.

<math>\Delta=\vec\nabla^2=
\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.</math>

Er erscheint oft in Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen .

  • Der d'Alembert-Operator auch Quabla genannt

<math>\Box\varphi(\vec r t)=\Delta\varphi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}</math>

wobei c meist die Lichtgeschwindigkeit ist.

Eigenschaften

Differentialoperatoren sind linear das heißt ist ein Differentialoperator f und g Funktionen und eine Konstante so gilt

<math>D\ (f+g) = (Df) + (Dg)</math>
<math>D\ (cf) = c\ (Df)</math>.

Differentialoperatoren lassen sich allgemein gemäß

<math>(D_1\circ D_2)(f) = D_1(D_2(f))</math>

kombinieren. Jedes Polynom von Differentialoperatoren ist wiederum ein Differentialoperator.



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