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Differentialrechnung


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In der Mathematik ist die Differentialrechnung eines der zwei Hauptgebiete der Analysis. untersucht das Verhalten von mathematischen Funktionen bzw. Kurven oder Oberflächen. Begriffe wie Steigung oder Krümmung werden definiert.

Erfunden wurde die Differentialrechnung (unabhängig von von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz die von unterschiedlichen Problemstellungen ausgingen.

Leibniz ging von einem geometrischen Problem aus dem Tangentenproblem : Er wollte eine Gerade an eine Kurve legen die diese in einer kleinen möglichst gut annähert.

Newtons Ansatzpunkt war das physikalische Problem der Momentangeschwindigkeit : Es soll zu einer ungleichförmigen Bewegung einem gegebenen Zeitpunkt eine gleichförmige Bewegung gefunden die sie in einem kleinen Zeitintervall möglichst annähert.

Beide Problemstellungen lassen sich zurückführen auf Suchen der Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt einer stetigen Funktion .

Inhaltsverzeichnis

Differenzierbarkeit

Die Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x 0 falls der Grenzwert

<math> \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x) f(x_0)} {x - x_0} = \frac {\mathrm{d}} f(x_0) </math>

existiert. Man nennt ihn den Differentialquotienten. Funktion ist genau dann differenzierbar wenn sie jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. In einfachen Worten bedeutet dass f genau dann differenzierbar ist wenn an Punkt des Graphen von f genau eine Tangente existiert.

Differentialquotient

Die Steigung einer Geraden zwischen zwei des Graphens einer Funktion f(x) ( Sekante ) ist der Differenzenquotient

<math>k=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x) f(x_0)}{\Delta x}</math>

Lässt man nun die beiden Punkte näher zusammen wandern und bildet den Grenzwert so wird die Sekante zur Tangente und man erhält den Differentialquotienten :

<math>k=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)</math>

Newtons Ansatz führt zu dem gleichen Wenn f(t) den in der Zeit t zurückgelegten Weg angibt so ist die Geschwindigkeit:

<math>\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{f(t_0+\Delta t) f(t_0)}{\Delta t}</math>

bildet man nun wieder den Grenzwert Δt nach 0 ergibt sich die Momentangeschwindigkeit:

<math>\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t_0+\Delta t) f(t_0)}{\Delta t}</math>

Die Terme d x und d y beziehungsweise d s und d t heißen Differentiale ; ein Differential ist auch in der Notation eines Integrals enthalten.

Ableitungsfunktion

Die Funktion der Differentialquotienten an allen von f nennt man die Ableitungsfunktion f ' - oder kurz Ableitung - von f . f ' ( x 0 ) nennt man die Ableitung von f an der Stelle x 0 . Sie entspricht der Steigung des Graphen Funktion an der Stelle x 0 .

Ist die Ableitung stetig dann heißt f stetig differenzierbar .

Beispiele

Beispiel für das Bestimmen einer Ableitungsfunktion

Gesucht ist die Ableitung der Funktion der Gleichung <math>f(x) = x^3 .</math> Dann

<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x) f(x_0)}{\Delta x}= \frac{(x_0+\Delta x)^3 - (x_0)^3}{\Delta x}</math>

<math>=\frac{(x_0^3 + 3 x_0 ^2 \Delta + 3 x_0 \Delta x ^2 + x^3) - x_0^3}{\Delta x}=\frac{(3 x_0 ^2 \Delta + 3 x_0 \Delta x ^2 + x^3)}{\Delta x}</math>

<math>=3 x_0^2 + 3 x_0 \Delta + \Delta x^2</math>

und daher

<math>f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}(3 x_0^2 + x_0 \Delta x + \Delta x^2)=3 x_0^2

Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion

f(x) = | x | ist an der Stelle 0 nicht denn es gilt:

Wenn x > 0 gilt f(x)= x und damit

<math> \lim_{x \rightarrow 0+} \frac {f(x) f(0)} {x - 0} = \lim_{x \rightarrow {x-0}{x-0} = 1 </math>

und wenn x < 0 gilt f(x) = -x und damit

<math> \lim_{x \rightarrow 0-} \frac {f(x) f(0)} {x - 0} = \lim_{x \rightarrow {-x-0}{x-0} = -1 </math>

Da der linkseitige und der rechtsseitige nicht übereinstimmen existiert kein allgemeiner Grenzwert und f ist nicht differenzierbar.

Sieht man den Graph von f so könnte man sagen dass f genau dann differenzierbar ist wenn er "Knicke" enthält.

Beispiel für eine nicht stetig differenzierbare

Beachte: Selbst wenn f überall differenzierbar ist muss die Ableitung stetig sein.

Zum Beispiel ist die Funktion <math>f(x) \begin{cases} x^2\cos(1/x) & x\ne 0\\ 0 & \end{cases}</math> in jedem Punkt differenzierbar aber die <math>f'(x) = \begin{cases} 2x\cos(1/x)+\sin(1/x) & x\ne 0\\ & x=0 \end{cases}</math>

ist im Punkt 0 nicht stetig.

Ableitungsregeln

Seien f g und h (im Definitionsbereich) differenzierbare reelle Funktionen n und a reelle Zahlen dann gilt:

  • konstante Funktion: (a)' = 0
  • Potenzregel: (x n )' = nx n-1 falls n ≠ 0
  • Summenregel : (g+h)' = g'+h'
  • Differenzenregel: (g-h)' = g'-h'
  • Faktorregel : (a·f)' = a·f'
  • Produktregel : (g·h)' = g'h + h'g
  • Quotientenregel : <math>\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g'h - gh'}{h^2}</math>
  • Kettenregel : (g(h(x)))' = g'(h(x))·h'(x)
  • Umkehrregel: Ist f eine an der x 0 differenzierbare bijektive Funktion mit f'(x 0 )≠0 und ihre Umkehrfunktion f -1 bei f(x 0 ) differenzierbar dann gilt:
    <math>(f^{-1})'(f(x_0)) = \frac{1}{f'(x_0)}</math>
    (Spiegelt man einen Punkt P des Graphen von f an der 1.Mediane und damit P* auf f -1 so ist die Steigung von f -1 in P* der Kehrwert der Steigung von f in P)

Die Ableitungen einiger elementarer Funktionen sind der Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen angegeben.

Mehrfache Ableitungen Glattheit

Ist die Ableitung einer Funktion f differenzierbar so lässt sich die zweite Ableitung f als Ableitung der ersten definieren. Auf Weise können dann auch dritte vierte etc. definiert werden.

Eine unendlich oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Jede analytische Funktion ist glatt aber nicht umgekehrt wie im Artikel Taylorreihe gegebene Beispiel einer nicht analytischen glatten zeigt.

Anwendung bei der Kurvendiskussion

Bei der Untersuchung eines Funktionsgraphen auf Eigenschaften ( Kurvendiskussion ) spielen die Ableitungsfunktionen eine entscheidende Rolle sie die Steigung des Graphen beschreiben. Dies am Beispiel der Funktion mit der Gleichung

<math> { f(x) } = { \over 3 } \cdot x^3 - 2 x^2 + 3 \cdot x </math>

erläutert. Die Abbildung zeigt den Verlauf f(x) f '(x) und f ''(x).

Waagerechte Tangenten

Eine Steigung 0 d.h. f '(x)=0 eine waagerechte Tangente bei f(x). Dies kann Hochpunkt (lokales Maximum) einen Tiefpunkt (lokales Minimum) einen Sattelpunkt bedeutet. Im Beispiel ist

<math> { f ' (x) } { x^2 - 4 \cdot x + } </math>

f '(x) wird 0 bei x=1 x=3.

Die zweite Ableitung f ''(x) beschreibt Steigung von f '(x) also die Änderung Steigung von f(x). Ist f''(x)>0 so ändert f '(x) von negativen zu positiven Werten liegt ein Tiefpunkt von f(x) vor. Im f ''(x)<0 ändert sich die Steigung vom zu negativen Werten das bedeutet eine Hochpunkt f(x). Im Beispiel ist f ''(1) = und f ''(3) = 2.

Wendepunkte

Ist f ''(x)=0 so hat f hier eine waagerechte Tangente und die Steigung f(x) ändert sich an dieser Stelle nicht. f '(x) hier einen Hoch- oder Tiefpunkt (also f '''(x) hier nicht 0 ist) bedeutet das einen Wendepunkt von f(x). Im ist

<math> {f (x)} = {2 \cdot x - 4}

und wird 0 bei x=2. Zugleich

<math> {f (x)} = 2 </math>

und daher ungleich 0.

Sattelpunkte

Einen Wendepunkt mit zugleich waagerechter Tangente man einen Sattelpunkt. Für ihn gilt demnach (x)=0 und f ''(x)=0 wie im Beispiel Funktion mit der Gleichung

<math> f(x) = {x^3} </math>

an der Stelle x=0.

Allerdings ist das kein hinreichendes Kriterium kann auch f '(x)=0 und f ''(x)=0 ohne dass ein Wendepunkt auftritt wie im

<math> f(x) = {x^4} </math>

Erst wenn f ''' nicht 0 ist ist ein Wendepunkt erwiesen.

Eine vollständige Kurvendiskussion umfasst weitere Untersuchungen Kurvendiskussion .

Ableitungen nach der Zeit

Die wichtigste Anwendung der Analysis in Physik ist die Ableitung nach der Zeit: Änderungsrate.

Wenn man zum Beispiel die Funktion zurückgelegten Strecke ( Position ) nach der Zeit ableitet erhält man Geschwindigkeit . Leitet man diese nach der Zeit erhält man die Beschleunigung .

Partielle Ableitungen

Alle vorigen Ausführungen legten eine Funktion einer Variablen (also eine <math>\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>-Funktion) zu Grunde. können Funktionen in mehreren Variablen (also <math>\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>-Funktionen) nach jeder unabhängigen Variable abgeleitet werden. So lassen für eine Funktion in <math>n</math> Variablen insgesamt so genannte partielle Ableitungen errechnen:

<math>k=\frac{\partial f (x_1 \dots x_n)}{\partial x_i} \lim_{\Delta x_{i0} \to 0}\frac{f(x_1 \dots x_{i0}+\Delta x_i x_n) - f(x_1 \dots x_{i0} \dots x_n)}{\Delta i \in [1; n]</math>

Die einzelnen partiellen Ableitungen einer Funktion sich auch gebündelt als Nablavektor anschreiben.

Herleitung von Ableitungsregeln (extern pdf)

Siehe auch: Differentialgleichung partielle Differentialgleichung Integralrechnung Partielle Ableitung Kurvendiskussion



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