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Disjunkt (Mengenlehre)


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In der Mengenlehre heißen zwei Mengen A und B disjunkt oder elementfremd falls sie kein gemeinsames Element besitzen.

Definitionen

Gleichbedeutend dazu ist folgende formale Definition:

Zwei Mengen A und B heißen disjunkt wenn A geschnitten mit B leer ist:

<math>A\cap B=\emptyset</math>

Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt wenn je zwei von ihnen disjunkt

Eine disjunkte Mengenfamilie

<math> M_i \quad i \in \Lambda </math>
ist eine Familie von paarweise disjunkten Es gilt also
<math> M_i \cap M_j = \emptyset</math> für \ne j</math>.

Die Vereinigung M eines disjunkten Mengensystems bezeichnet man als disjunkte Vereinigung und schreibt sie als

<math>M=\dot{\bigcup_{i \in \Lambda}}M_i\ .</math>

Ein Mengensystem U von Teilmengen einer Menge X heißt Partition von X wenn gilt:

  • die Vereinigung von U ist ganz X
  • U ist eine disjunkte Familie
  • die leere Menge ist nicht Element U .

Beispiele und Eigenschaften

A ={1 2 3} und B ={7 8 11} sind disjunkt. A ={1 2 7} und B ={6 7 8 11} sind nicht disjunkt sie die 7 gemeinsam besitzen.

A ={1 2 3} B ={3 4 5} C ={5 6 7} sind nicht paarweise disjunkt kein Element in allen drei Mengen enthalten (und A und C disjunkt sind).

Zwei Nebenklassen gU hU einer Untergruppe U einer Gruppe G sind entweder gleich oder disjunkt. Damit die Menge G / U aller Nebenklassen von U eine Partition von G .

Die Mächtigkeit einer disjunkten Vereinigung ist gleich der der Einzelmächtigkeiten.

Verwandtes Konzept: Linear Disjunkt


In der abstrakten Algebra gibt es den Begriff der Linearen Disjunktheit von Zwischenkörpern einer Körpererweiterung der mit der Disjunktheit im mengentheoretischen nur gemeinsam hat dass die Schnittmenge linear Körper kleinstmöglich ist.



Bücher zum Thema Disjunkt (Mengenlehre)

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