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Gaußscher Integralsatz


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Der Gaußsche Integralsatz auch Satz von Gauß-Ostrogradski Satz von Gauß oder Divergenzsatz ist ein Ergebnis aus der Vektoranalysis . Er stellt einen Zusammenhang her zwischen Divergenz eines Vektorfeldes und dem durch das Feld vorgegebenen durch eine geschlossene Oberfläche.

Der Gaußsche Integralsatz folgt als Spezialfall dem Satz von Stokes der wiederum den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert.

Formulierung des Satzes

Sei <math>V \subset \mathbb{R}^n</math> kompakt mit abschnittsweise glattem Rand ∂ V . Der Rand sei orientiert durch ein Normalen-Einheitsfeld ν . Sei ferner F ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer Umgebung von V. Dann gilt

<math> \int_V \operatorname{div} \mathbf{F}\;dV = \int_{\partial \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} </math>

mit der Abkürzung d S = ν dS .

Bedeutung

Der Gaußsche Integralsatz findet in vielen der Physik Anwendung vor allem in der Elektrodynamik und der Fluiddynamik .

Im letzteren Fall wird die Bedeutung Satzes besonders anschaulich. Nehmen wir an das F beschreibt fließendes Wasser in einem gewissen Dann beschreibt die Divergenz von F gerade die Stärke von Quellen und Senken in einzelnen Punkten. Möchte man nun wieviel Wasser aus einem bestimmten Bereich V insgesamt herausfließt so ist intuitiv klar man folgende zwei Möglichkeiten hat:

  • Man untersucht wieviel Wasser durch die Oberfläche V aus- und eintritt. Dies entspricht dem
  • Man bilanziert wieviel Wasser insgesamt innerhalb von verschwindet und hinzukommt addiert also die Effekte Quellen und Senken. Dies wird gerade durch Volumenintegral über die Divergenz realisiert.

Der Gaußsche Integralsatz besagt dass tatsächlich Möglichkeiten gleichermaßen zum Ziel führen. Er hat den Charakter eines Erhaltungssatzes .

Geschichte

Der Satz wurde wahrscheinlich zum ersten von Joseph Louis Lagrange im Jahre 1762 formuliert und unabhängig davon später von Carl Friedrich Gauß ( 1813 ) George Green ( 1825 ) und Michail Wissilowitsch Ostrogradski ( 1831 ) wiederentdeckt. Ostrogradski lieferte auch den ersten Beweis.




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