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Division mit Rest


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In der Mathematik kann man für die natürlichen Zahlen eine Division mit Rest definieren. Die formelle Definition wird in Zahlentheorie im Zusammenhang mit Restklassen gegeben. Hier folgt eine anschaulichere Darstellung.

Wenn zwei natürliche Zahlen der Divisor a und der Dividend b (ungleich 0) mit Rest dividiert werden also wenn

a : b
berechnet werden soll so wird gefragt man die Zahl a als Vielfaches von b und einem "kleinen Rest" darstellen kann:
a = b · c + r .
Hier sind c der so genannte Ganzzahlquotient und r der Rest . Entscheidende Nebenbedingung ist dass r eine Zahl zwischen 0 und b -1 ist. Hierdurch wird r eindeutig bestimmt.

Der Rest ist also die Differenz zwischen dem und der größten Zahl die kleiner als Dividend ist und durch den Divisor teilbar für die die Division also keinen Rest Ein Rest ungleich 0 ergibt sich folglich wenn zwei Zahlen nicht Vielfache voneinander sind. sagt auch: Der Dividend ist nicht durch Divisor teilbar weshalb ein Rest übrigbleibt.

Inhaltsverzeichnis

Ganze Zahlen

Ist b eine negative ganze Zahl dann gibt es keine Zahlen zwischen und b -1. Stattdessen fordert man dass der Rest 0 und | b -1| (dem Betrag von b -1) liegt.

Alternativ kann man aber auch verlangen der Rest in diesem Fall zwischen b +1 und 0 liegt also dasselbe Vorzeichen wie b .

Eine dritte Möglichkeit ist den betragskleinsten zu wählen. Diese Variante liefert für a = b · c + r die beste Näherung b · c für a .

Beispiel

Bei einer Division durch 3 kann Rest die Werte 0 1 oder 2 Sehr anschaulich wird das wenn man die durch Striche ersetzt:

Division 7 durch 3:

 7 = IIIIIII 3 = III 
Jetzt kann man immer je 3 zu einem Block gruppieren.
 7 = III III I  
Der letzte Block der entsteht bildet Rest. Dieser kann aus keinem einem oder Strichen bestehen.

Die Division mit Rest kann auch negativen Zahlen durchgeführt werden:

 7 : 3 = 2 Rest -7 : 3 = -3 Rest 2 : -3 = -2 Rest 1 -7 -3 = 3 Rest 2  

Man beachte dass DIV- und MOD-Befehle ganzzahlige Division und Restbildung) in den meisten negative Zahlen anders behandeln:

 7 DIV 3 = 2 Rest -7 DIV 3 = -2 Rest -1 DIV -3 = -2 Rest 1 -7 -3 = 2 Rest -1  

In einigen Programmiersprachen (z.B. Ada) und Computer-Algebra-Systemen gibt es daher zwei Restoperatoren: Einen den nichtnegativen Rest und einen für den mit demselben Vorzeichen wie der Dividend.

Verallgemeinerung: Reelle Zahlen

Sind a und b reelle Zahlen b ungleich 0 dann kann man eine mit Rest folgendermaßen definieren: Der ganzzahlige Quotient c und Rest r im halboffenen Intervall [0 | b |) sind diejenigen (eindeutig bestimmten) Zahlen die Gleichung a = b · c + r erfüllen.

Auch hier gibt es die Alternativen Rest dasselbe Vorzeichen wie b zu geben oder den betragskleinsten Rest wählen. Letztere Alternative entspricht der Rundung : Die Division mit Rest von a durch 1 liefert eine ganze Zahl c und eine reelle Zahl r mit Betrag ≤ 0 5 die Gleichung a = c + r erfüllen. Die Zahl c ist der auf ganze Zahlen gerundete von a .

Beachte dass hierbei der Quotient nicht derselben Menge (der reellen Zahlen) genommen wird Divisor und Dividend.

Verallgemeinerung: Polynomdivision

Die Division mit Rest ist nicht ganze Zahlen beschränkt sondern auch für andere Ringe definiert. Sowohl Quotient als auch Rest dabei aus demselben Ring genommen wie Divisor Dividend.

Ein Beispiel ist die Polynomdivision : Hier ist der Rest stets ein Polynom von kleinerem Grad als der Divisor.

 (2 x^2 + 4 x + : (x + 1) = 2 x 2 2 x^2 + 2 x ----------- x + 5 2 x + 2 3  

2 x + 2 ist das Ergebnis und der Rest.

Ein Ring in dem eine Division Rest möglich ist heißt euklidischer Ring .



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