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Division (Mathematik)


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Die Division ist die schwierigste der vier Grundrechenarten der Arithmetik . Sie ist die Umkehrung der Multiplikation .

Inhaltsverzeichnis

Division in der Arithmetik

Im Bereich der rationalen reellen und komplexen Zahlen gilt:
Für jede Zahl a und von Null verschiedene Zahl b gibt es eine Zahl x die die Gleichung

b · x = a (lies: b mal x gleich a )
erfüllt.

Die Bestimmung von x heißt Division. x lässt sich bestimmen indem man a b dividiert ("teilt"):

x = a : b

Die auftretenden Terme heißen wie folgt:

Die Zahl die geteilt wird ( a ) heißt Dividend .
Die Zahl durch die geteilt wird ( b ) heißt Divisor .
Das Ergebnis der Division heißt Quotient .

Der Divisor muss unbedingt ungleich 0 da die Gleichung 0 · x = a nur für a = 0 lösbar ist und dann als eine Lösung hat. Für ein anderes a existiert keine Lösung x (egal wie x gewählt wird man erhält immer 0 x = 0). Daher sagt man die durch 0 ist unzulässig. (Siehe dazu auch Artikel Null (Zahl) .)

Siehe auch: Kehrwert

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die

a : b
a ÷ b
a / b
<math>\frac{a}{b}</math>

Der Doppelpunkt als Zeichen für die ist erst seit Leibniz (1646 - 1716) allgemein üblich wenngleich auch in älteren Schriften bekannt ist.

Null dividiert durch null

Angenommen man könnte Null durch Null was wäre dann? Es würde zwei Gesetzesmäßigkeiten die für diesen Fall zutreffen würden:

  • <math> \frac{n}{n}=1</math> mit n =0 und abgewandelt davon <math> \frac{a*n}{n}=a</math> mit n =0
und
  • <math> \frac{0}{0}=n</math> das sich aus <math> 0*n 0</math> ableiten läßt.

Das führt dazu daß als Ergebnis Division von null durch null jede denkbare (selbst aus dem Bereich der komplexen Zahlen) Ergebnis herauskommen würde. Das ist natürlich absurd.

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch dass in ihnen die Division (außer durch stets möglich ist. Die Division erfolgt hier Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die von Quotienten.

Siehe auch: Gruppe Ring Schiefkörper Divisionsalgebra



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