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Endliche einfache Gruppen und ihre Klassifikation


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siehe auch:   Gruppentheorie || endliche Gruppe
Endliche einfache Gruppen im folgenden kurz als einfache Gruppen gelten in der Mathematik als die Bausteine der endlichen Gruppen .

Jede endliche Gruppe läßt sich in vielen Schritten aus einfachen Gruppen konstruieren jede Gruppe läßt sich auch wieder in ihre Gruppen zerteilen. Es gibt jedoch keine "noch Gruppen" aus denen sich die einfachen Gruppen lassen.

Ein anschaulicher Vergleich: einfache Gruppen spielen die endlichen Gruppen eine ähnliche Rolle wie die Primzahlen für die natürliche Zahlen .

Inhaltsverzeichnis

Definition:

Eine endliche Gruppe E mit mindestens Elementen ist eine einfache Gruppe wenn für jeden surjektiven Gruppenhomomorphismus h : E -> H eine der beiden folgenden Bedingungen gilt:
  • Die Abbildung h ist injektiv d.h. die Gruppen E und H gleich groß.
  • Die Abbildung ist trivial h bildet Elemente von E auf das neutrale Element H ab.
Um noch einmal den Vergleich mit Primzahlen zu bemühen: eine einfache Gruppe läßt mittels Homomorphismus nur in gleichgroße Gruppen oder in 1-er-Gruppen zerteilen.

Klassifikation:

Seit 1982 sind die einfachen Gruppen klassifiziert:
  • Fast alle dieser Gruppen lassen sich einer von 18 Familien endlicher einfacher Gruppen
  • Es existieren 26 Ausnahmen - diese werden als sporadische Gruppen bezeichnet.

Zum Beweis des Klassifikationssatzes:

Die Herleitung des Satzes war eines umfangreichsten Verfahren der Mathematikgeschichte:
  • Der Beweis verteilt sich auf über Fachartikel mit zusammen fast 15.000 gedruckten Seiten.
  • Über 100 Mathematiker waren von Ende 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran
Da Teile des Satzes mit Hilfe Computern überprüft wurden wird der Beweis jedoch von allen Mathematikern anerkannt.

Familien einfacher Gruppen ( Beispiele ):

Zyklische Gruppen mit Primzahlordnung:

Die Zyklischen Gruppen Z p mit p = 2 3 5 11 ... bilden eine Familie der einfachen

Bei den einfachen Gruppen fallen die zyklisch und kommutativ zusammen d.h. jede einfache zyklische Gruppe kommutativ und jede einfache kommutative Gruppe ist

Bei den einfachen Gruppen fallen die zyklisch und ungerade Ordnung beinahe zusammen:

  • Jede einfache zyklische Gruppe - außer Z 2 - besitzt eine ungerade Anzahl von
  • Jede einfache Gruppe mit ungerader Ordnung zu den zyklischen Gruppen.

Alternierende Permutationsgruppen:

Die Alternierenden Permutationsgruppen Alt n mit n größer 4 bilden eine Familie der einfachen Gruppen.

Sporadische Gruppen ( Beispiele ):

Die ersten 5 Gruppen der insgesamt sporadische Gruppen wurden von Émile Mathieu bereits den Jahren 1862 und 1873 entdeckt.

Die 21 "jüngeren" Gruppen wurden ab gefunden meist erfolgte die Entdeckung im Rahmen Beweissuche zum Klassifikationssatz. Da diese Gruppen zum recht groß sind vergingen zwischen ihrer gruppentheoretischer und dem praktischen Beweis ihrer Existenz oft Jahre.

Die so genannte Monstergruppe F1 mit 8 × 10 53 Elementen beispielsweise wurde bereits 1973 von Fischer und Robert Griess junior entdeckt ihre Konstruktion gelang Griess jedoch erst 1980.

Weblinks und Literatur:




Bücher zum Thema Endliche einfache Gruppen und ihre Klassifikation

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