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Einheitswurzel


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n -te Einheitswurzeln sind komplexe Zahlen deren n -te Potenz 1 ist.

Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau n Einheitswurzeln:

<math> z_1 z_2 \dots z_n </math>

Für jede dieser <math> z_k </math>

<math> {z_k}^n = 1 </math>

Zum Beispiel ist für n=2:

<math> z_1 = -1 z_2 = </math>
oder für n=4:
<math> z_1 = i \ z_2 -1 \ z_3 = -i \ z_4= </math> wobei i die imaginäre Einheit ist. Es gilt: <math> i^2=-1 </math> <math> (i^2)^2 = 1 </math>.

Ermittlung der Einheitswurzeln

Die Einheiswurzeln einer gegebenen Potenz n sich geometrisch ermitteln: Sie sind die Ecken n -Ecks dessen Ecken auf dem Einheitskreis (mit 0 und Radius 1) der komplexen Ebene liegen wobei eine Ecke die komplexe <math>z_n = 1</math> ist. Realteil x und Imaginärteil y der Einheitswurzel <math>z = x + lassen sich aus den Koordinaten der Unterteilungs-Punkte dem Kreis direkt ablesen. Exakt berechnen lassen sich aus dem Cosinus und dem Sinus der zugehörigen Winkel:

<math> x_k = \cos ( k 2\pi /n) = \cos ( k \cdot / n ) </math>
<math> y_k = \sin ( k 2\pi /n) = \sin ( k \cdot / n ) </math>
<math> k = 1 \ldots n</math>

Verallgemeinerung

Hat man einen beliebigen Körper K anstelle der komplexen Zahlen kann man Nullstellen des Polynoms

<math>X^n - 1</math>
als n -te Einheitswurzeln definieren. Man weiß dann dass in K höchstens n solche Wurzeln gibt. Falls es weniger n sind kann man zum Zerfällungskörper des übergehen in dem dann alle n Einheitswurzeln enthalten sind. Man nennt diesen den n -ten Kreisteilungskörper über K . Spricht man von Kreisteilungskörpern ohne den anzugeben meint man meist die Kreisteilungskörper über rationalen Zahlen . In dem sind die Einheitswurzeln genau oben beschriebenen komplexen Zahlen.




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