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Elektrostatik


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Die Elektrostatik befasst sich mit ruhenden elektrischen Ladungen Ladungsverteilungen und den elektrischen Feldern geladener Körper.

Alltäglich bekannte Phänomene der Elektrostatik beruhen sehr hohen elektrischen Spannungen . Als klassisches Beispiele für die elektrostatische und Entladung von Körpern können Blitze dienen. Die Ladungstrennung liegt hier zwischen und dem Erdboden vor die bei Blitzentladung Ströme sind extrem hoch (>100 Kilo -Ampere). Im Kleinen taucht dieser Effekt auf man mit Gummi sohlen bei trockener Luft über einen Teppichboden und sich dann bei Berührung von einem erdet : Man kriegt eine "gewischt" d.h. es eine Spontanentladung statt - bei der nur Ströme (~10 Milli -Ampere) fließen.

Inhaltsverzeichnis

Geschichte

Die Kraftwirkung zwischen lokalisierten Körpern war schon im Griechenland bekannt. Die Eigenschaft der Materie wurde dem Begriff "elektrische Ladung" in Verbindung gebracht.

Grundlagen der Elektrostatik

Experimente (mit z.B. Elektroskop Elektrometer) ergeben folgende Beobachtungen:

  • Es gibt zwei Arten elektrischer Ladungen: und negativ).
  • Geladene Körper üben Kräfte aufeinander aus.
    • Gleichnamige Ladungen d. h. solche mit Vorzeichen stoßen sich ab.
    • Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an.
  • Einige Nichtleiter können durch Reibung geladen werden siehe Reibungselektrizität.
  • Ungleichnamige Ladungen können sich absorbieren
    • + und - ergibt 0
    • ++ und + ergibt +++
    • + und ---- ergibt ---

Ladung eines Körpers entsteht durch elektrische oder Influenz .

Elektrische Kraftwirkungen sind räumlich nicht lokalisiert!

Modellierung

Das elektrische Feld

Das elektrische Feld ist ein Quellenfeld. entsteht durch die Anwesenheit von elektrischen Ladungen der Quelle des elektrischen Feldes . abgeleitete SI -Einheit der elektrischen Feldstärke ist:

<math>[E]_{\mathrm{SI}}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} =\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}} =\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3\cdot\mathrm{A}}</math>

Die Grundlage der Elektrostatik ist die Maxwell'sche Gleichung

<math>\mathrm{div}\vec D=\rho\qquad\leftrightarrow\qquad\iint_A\vec D\;\mathrm{d}\vec A=\iiint_V\rho\;\mathrm{d}V</math>

Das <math>\vec E</math>-Feld ist mit dem D</math>-Feld durch die Materialgleichungen verknüpft. Es handelt sich bei beiden um Vektorfelder . Ein von Null verschiedenes Vektorfeld hat jedem Ort des Raumes eine bestimmte Stärke eine bestimmte Richtung.

<math>\mathrm{div}\vec D=\mathrm{div}(\varepsilon\cdot\vec E)=\varepsilon\cdot\mathrm{div}\vec E=-\varepsilon\cdot\mathrm{div}\mathrm{grad}\varphi=-\varepsilon\cdot\triangle\varphi=\rho</math>
<math>\triangle\varphi(\vec r)=-\frac{\rho(\vec r)}{\varepsilon}\qquad\mathrm{}</math>
(Poisson-Gleichung)

Spezialfälle

Fernfeld einer Punktladung

In der Elektrostatik lässt sich das durch Umformung des Coulomb'schen Gesetzes beschreiben.

Eine mögliche Herleitungsmethode

Ausgangspunkt: Die spezielle Lösung der Poisson-Differentialgleichung

<math>\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\cdot\pi\cdot\varepsilon}\iiint_V\frac{\rho(\vec\tilde{r})}{\Vert\vec r-\vec\tilde{r}\Vert}\;d\tilde{V}</math>
Taylorreihen Entwicklung von <math>\frac{1}{\Vert\vec r-\vec\tilde{r}\Vert}</math>
<math>\varphi(\vec r)\approx\underbrace{\frac{Q_{ges}}{4\cdot\pi\cdot\varepsilon\cdot\Vert\vec r\Vert}}_{\mbox{Monopolnäherung}}</math>

<math>\varphi_B(\vec r)=\frac{1}{4\cdot\pi\cdot\varepsilon}\cdot\frac{Q_{ges}}{\Vert\vec r\Vert}</math>

mit

<math>\vec E(\vec r)=-\mathrm{grad}\varphi</math>

erhält man nun:

<math>\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\cdot\pi\cdot\varepsilon}\cdot\frac{Q_{ges}}{\Vert\vec r\Vert^2}\;\vec e_r</math>

Im Fall einer positiven Ladung zeigt Feld radial von der Ladung weg bei negativen Ladung zeigt es zur Ladung hin. Felder verschiedener Ladungen addieren sich mit gewöhnlicher

Kraft des Fernfeldes

Das elektrische Feld bewirkt eine Kraft Ladungsträger. Ist das elektrische Feld <math>\vec E</math> die Ladung des Teilchens <math>q</math> so erfährt Teilchen die Kraft

<math>\vec F = q\vec E</math>.

Zusammen ergibt dies dass sich gleichnamige abstoßen ungleichnamige hingegen anziehen und die Kraft Punktladungen aufeinander mit dem Quadrat des Abstandes

<math>F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{qQ}{r^2}</math>

Neben dem Feld einer Punktladung ist das Feld einer homogen geladenen Kugel eines und zweier paralleler geladener Platten (Plattenkondensator) besonders zu berechnen.

Die Elektrostatik ist auf zeitlich konstante Felder beschränkt. Zur Behandlung zeitlich veränderlicher Felder man die Elektrodynamik . Nach dieser sind das elektrische und magnetische Feld nur zwei verschiedene Aspekte eines Feldes. Dies führt dazu dass elektrische Felder nur durch Ladungen sondern auch durch veränderliche Felder erzeugt werden können. Zudem bedingt ein veränderliches elektrisches Feld automatisch ein Magnetfeld.

Eine Folge ist dass das elektrische bewegter Ladungen im Allgemeinen nicht mehr über Coulomb-Gesetz berechnet werden kann.

Potential und Spannung

Da eine elektrische Ladung im elektrischen eine Kraft erfährt wird bei ihrer Bewegung das elektrische Feld Arbeit verrichtet bzw. es Arbeit verrichtet werden um die Ladung gegen elektrische Feld zu bewegen. Da elektrostatische Felder sind (konservatives Feld) hängt die benötigte Energie vom Start- und Zielort ab nicht vom Weg. "Wirbelfrei" heißt dass die Rotation eines Null ist:

<math>\qquad\mathrm{rot}\vec E=0\quad\leftrightarrow\quad\oint\vec E\;\mathrm{d}\vec s=0\qquad</math>

Somit lässt sich eine potentielle Energie Ladung definieren. Da die Kraft proportional zur ist gilt dies auch für die potentielle Daher kann man die potentielle Energie als der Ladung und eines Potentials welches sich dem elektrischen Feld ergibt berechnen.

Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten bezeichnet als elektrische Spannung. Das Produkt aus der eines Teilchens und der Spannung zwischen zwei ergibt die Energie die man benötigt um Teilchen vom einen Punkt zum anderen zu Die Einheit des elektrischen Potentials und der Spannung ist Volt . Gemäß der Definition von Potential und gilt Volt = Joule / Coulomb .

<math>U_{12}=\int_{\mathrm{Punkt 1}}^{\mathrm{Punkt 2}}\vec E\;\mathrm{d}\vec s\qquad</math>

Das Konzept der Spannung stößt an Grenzen wenn dynamische Vorgänge auftreten. Für veränderliche lässt sich zwar noch eine Induktionsspannung definieren ist diese nicht mehr über eine Potentialdifferenz Auch ist die für eine Bewegung der von einem Punkt zum anderen benötigte Energie so lange gleich der Potentialdifferenz zwischen den wie die Beschleunigung vernachlässigbar klein ist da der Elektrodynamik beschleunigte Ladungen elektromagnetische Wellen aussenden die ebenfalls in der Energiebilanz werden müssen.

Die Energie des elektrischen Feldes

In einem Plattenkondensator besteht ein näherungsweise Feld. Ist die Ladung der einen Platte und die der anderen Platte entsprechend <math>-Q</math> die Plattenfläche <math>A</math> so hat dieses Feld Wert

<math>E = \frac{Q}{\varepsilon_0 A}</math>.
Ist der Plattenabstand <math>d</math> und bringt eine kleine Ladung <math>\mathrm{d}Q</math> von der einen die andere Platte so muss gegen das Feld die Arbeit
<math>\mathrm{d}W = F\cdot d = E\mathrm{d}Q\cdot d</math>.
Wegen der Energieerhaltung muss diese Arbeit einer Erhöhung der Energie des Kondensators führen. kann aber nur im elektrischen Feld stecken. den Ladungsübertrag erhöht sich die Feldstärke um
<math>\mathrm{d}E = \frac{\mathrm{d}Q}{\varepsilon_0 A}</math>.
Auflösen nach <math>\mathrm{d}Q</math> und Einsetzen in Arbeit ergibt
<math>\mathrm{d}W = \varepsilon_0 A\cdot d\cdot E\mathrm{d}E</math>.
Nun ist aber <math>V=A\cdot d</math> gerade Volumen des elektrischen Feldes. Aufintegrieren und Teilen durch <math>V</math> ergibt die
<math>\frac{W}{V} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2</math>.

Siehe auch: Influenz Coulomb Elektrische Kapazität Elektroskop



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