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Ellipse (Mathematik)


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Eine Ellipse ist in der Geometrie definiert als die Menge aller Punkte für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten den Brennpunkten F 1 und F 2 konstant gleich 2a ist.

<math>ell = \{X\mid \overline{XF_1} + \overline{XF_2} 2a\}</math>

Es ergibt sich folgende Figur:

Die Punkte A und B werden Hauptscheitel genannt a ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und einem Hauptscheitel. Die Verbindungslinie von und B heißt Hauptachse . Analog sind C und D die Nebenscheitel b ihr Abstand vom Mittelpunkt und die die Nebenachse . Die Hauptscheitel sind die Punkte mit größten Abstand vom Mittelpunkt die Nebenscheitel diejenigen dem kleinsten. Haupt- und Nebenachse sind zu orthogonal .

Die Brennpunkte liegen im Abstand e der linearen Exzentrizität vom Mittelpunkt auf der Hauptachse. Die numerische Exzentrizität ist ein dimensionsloser Wert der sich folgt ergibt:

<math>\varepsilon = \frac{e}{a}</math>

Die Verbindungslinien zwischen den Brennpunkten und Punkt der Ellipse heißen Brennlinien . Die Brennpunkte erhalten ihren Namen von bemerkenswerten Eigenschaft der Ellipse: Stellt man eine in einen Brennpunkt der Ellipse werden die Lichtstrahlen von der Ellipse so reflektiert dass sie sich im anderen Brennpunkt Diese Eigenschaft hängt mit der Konstruktion der Tangenten der Ellipse zusammen: Die in einem Punkt der Ellipse ist eine Winkelsymmetralen der Brennlinien. Archimedes soll so will die Legende diese Eigenschaft ausgenützt haben um Flotte römischer Kriegsschiffe in Brand zu setzen. Mit baute er einen Teil einer großen Ellipse deren einen Brennpunkt er ein Feuer entzündete in deren anderen Brennpunkt sich ein feindliches befand.
die Decken mancher Höhlen ähneln einer einer Ellipse. Befindet man sich in einem dieser Ellipse hört man jedes geräusch dessen im zweiten Brennpunkt liegt stark verstärkt.

Zwischen a b und e gilt laut Satz von Pythagoras der Zusammenhang: a²=b²+e² .

Die Ellipse ist ein Kegelschnitt der entsteht wenn der Schnitt winkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.

Zwei Ellipsen mit den selben Brennpunkten man konfokal .

Eine Ellipse deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammen fällt nennt man Ellipse in 1. Hauptlage . In der ebenen analytischen Geometrie kann eine Ellipse in erster Hauptlage folgender Gleichung dargestellt werden.

<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>

Eine ihrer Anwendungen finden Ellipsen in Astronomie zum Beispiel in den Keplerschen Gesetzen . Sie werden auch oft in Grafiken Art verwendet. Österreichern sind sie zum Beispiel im (alten?) ORF -Logo bekannt.

Wendet man die Ellipsendefinition im Raum an oder rotiert man eine Ellipse um ihre Hauptachse ein Ellipsoid .

Konstruktion

Ellipsen lassen sich nur punktweise konstruieren eine genaue Konstruktion wie zum Beispiel beim ist unmöglich. Mit Hilfe der Krümmungskreise (siehe unten) und einem Kurvenlineal lässt aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild Ellipse erstellen. Um aber zum Beispiel eine exakt mit einer Ellipse schneiden zu können man besondere Konstruktionstechniken welche die Eigenschaften der ausnützen.

Die Ellipse lässt sich am einfachsten wenn die beiden Brennpunkte und die Länge Hauptachse angegeben ist. Dann kann man einfach Punkte mittels der Ellipsendefinition konstruieren und diese

Um die Konstruktion zu vereinfachen kann zuerst die Scheitelkrümmungskreise bestimmen. Dies sind Kreise die Ellipse in der Nähe der Scheitel annähern da sie die selbe Krümmung besitzen wie die Ellipse in den

Eine Möglichkeit die Ellipse "genau" zu ist die so genannte Gärtnerkonstruktion : Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen man eine Schnur mit der Länge 2a zwei Pflöcken die in den Brennpunkten stehen. spannt man die Schnur und fährt mit Markierungsgerät an ihr entlang. Diese Konstruktion ist in der klassischen Geometrie nicht erlaubt.

Mittels der Ellipsenkonstruktion nach De La Hire (auch Konstruktion nach Proklus ) können Ellipsenpunkte konstruiert werden ohne dass Brennpunkte angegeben sein müssen. Sind zwei konjugierte angegeben kann man mit Hilfe der Rytz'schen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und -achsen)

Formelsammlung

Für eine Ellipse in Mittelpunktslage große längs der x-Achse gilt:

<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>

Parameterform:

<math>\left\{\begin{matrix} x = a \ \cos t y = b \ \sin t \end{matrix}\right. \ 0 \le t \le 2\pi</math>

Polarform:

<math>r^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta}</math>

Brennpunkte:

<math>F_1 = (e 0) \ \ F_2 (-e 0) \ \ e = \sqrt{a^2-b^2}</math>

Flächeninhalt:

<math>A=\pi \; a \; b = \pi a^2 \; \sqrt{1-\varepsilon^2}</math>

Umfang:

<math>u=4a \; E(k) \quad \mbox{mit} \ k:= </math> E(k) ist Elliptisches Integral
<math>u \approx \pi (a+b) \left(1+ \frac{3\lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}} \right) \quad \lambda = \frac{a-b}{a+b} </math> Relativer Fehler: \frac{3\varepsilon^{20}}{2^{36}}</math>

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