Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMontag, 16. September 2019 

Erwartungswert


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable jener Wert von dem man sich dass er sich bei einer oftmaligen Wiederholung Experiments durchschnittlich ergibt. Er errechnet sich als die Summe der Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ergebnisses des Experiments multipliziert mit dem "Wert" dieses Ergebnisses. Der kann allerdings bei einem einzelnen Experiment unwahrscheinlich sogar unmöglich sein.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Wenn die Zufallvariable X diskret ist und die Werte x 1 x 2 ... mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p 1 p 2 ... annehmen kann errechnet sich der E(X) als:
<math>E(X)=\sum_{i} x_i p_i</math>

Er ist das erste Moment um Null.

Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist der Erwartungswert über das Integral bestimmt. Hat die Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f ( x ) so ist der Erwartungswert

<math>E(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x)dx.</math>

Die Erwartungswerte <math>E[X^k]</math> der Potenzen einer nennt man Moment der Ordnung <math>k</math>.

Beispiel

Das Experiment sei das Würfeln mit einem Würfel. Die Zufallsvariable X die gewürfelte Augenzahl. Die Wahrscheinlichkeiten p i eine der Zahlen 1 ... 6 würfeln sind jeweils 1/6.

<math>E(X)=\sum_{i=1}^6 i\cdot 1/6 = 3 5</math>

Wann man also 1000 Mal würfelt geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in Nähe von 3 5. Bei einem einzigen wird man aber nie 3 5 erhalten.

Rechenregeln

Erwartungswert von Summen

<math>E(\sum_{i=i}^nx_i)=\sum_{i=i}^nE(x_i)</math>

Lineare Transformation


<math>E(kx+d)=kE(x)+d</math>

Insbesondere:

<math>E(cx)=cE(x)</math>

Erwartungswert von Produkten

<math>E(xy)=E(x)E(y)+cov(x y)</math>

Siehe auch



Bücher zum Thema Erwartungswert

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Erwartungswert.html">Erwartungswert </a>