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Eulersche Identität


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
Die Eulersche Identität bezeichnet die Formel

<math> e^{i \varphi} = \cos\left(\varphi \right) + \sin\left( \varphi\right) </math>

und bildet das Bindeglied zwischen Trigonometrischen Funktionen und den komplexen Zahlen . Für den Winkel φ = π diese Formel sogar einmal die inoffizielle Auszeichnung schönste Formel der Mathematik :

<math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>

Dabei ist e die Eulersche Zahl (Basis des natürlichen Logarithmus ) i ist die imaginäre Einheit (eine komplexe Zahl mit der Eigenschaft i 2 = -1) und π ist die Kreiszahl pi (das Verhältnis vom Umfang zum eines Kreises). Die Gleichung erscheint in Leonhard Eulers Introductio veröffentlicht in Lausanne 1748 .

Der fast 15-jährige Richard Feynman nannte diese Beziehung in seinem Notizbuch "bemerkenswerteste Formel der Welt". Sie setzt die fundamentalen mathematischen Konstanten in eine Beziehung:

  • Die Zahlen 0 und 1 sind Grundlage des Zählens und der Arithmetik.
  • Die Zahl π ist eine geometrische unserer Euklidischen Welt.
  • Die Eulersche Zahl e ist eine zentrale Konstante bei der von Wachstumsvorgängen. Die einfachste Lösung der einfachsten dy / dx = y (einer Differentialgleichung ) ist die Exponentialfunktion y = e x .
  • Und durch die Einführung der imaginären i haben alle nicht-konstanten Polynome eine komplexe Nullstelle .

Spötter sagen diese Formel besage nichts als: "Wenn man sich umdreht schaut man die andere Richtung."

Herleitung

Hier ist eine Herleitung der Eulerschen mit Hilfe der Taylorreihen :

Die Funktion <math>e^x \mbox{ mit } \in\mathbb{R}</math> kann auch so geschrieben werden:

<math>e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} \frac{x^3}{3!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} </math>

nun fügen wir dem Exponenten i hinzu:

<math>e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left( ix \right) ^n}{n!} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} i^n </math>

wir können diesen Term jetzt so dass folgende Version dabei herauskommt:

<math>e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(
 \frac{x^{4n}}{ \left( 4n \right)!} i^{4n} + \left( 4n+1 \right) !} i^{4n+1} + \frac{x^{4n+2}}{ 4n+2 \right) !} i^{4n+2} + \frac{x^{4n+3}}{ \left( \right) !} i^{4n+3}  
\right) </math>

um diesen Ausdruck zu vereinfachen verwenden folgende Fakten über i :

<math>i^0=1 \quad i^1=i \quad i^2=-1 \quad i^3=-i i^4=1 ...</math>

oder allgemein ausgedrückt als Vielfaches von n :

<math>i^{4n}=1 \quad i^{4n+1}=i \quad i^{4n+2}=-1 \quad i^{4n+3}=-i

Als vereinfachte Formel erhalten wir:

<math>e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(
 \frac{x^{4n}}{ \left( 4n \right) !} + \left( 4n+1 \right) !} i - \frac{x^{4n+2}}{ 4n+2 \right) !} - \frac{x^{4n+3}}{ \left( 4n+3 !} i  
\right) </math>

nun werden die Terme noch einmal und in zwei Summen aufgeteilt:

<math>e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(
 \frac{x^{4n}}{ \left( 4n \right) !} - \left( 4n+2 \right) !}  
\right) + i \sum_{n=0}^\infty \left(
 \frac{x^{4n+1}}{ \left( 4n+1 \right) !} - \left( 4n+3 \right) !}  
\right) </math>

Beim nächsten Schritt verwenden wir folgende für cos( x ) und sin( x ):

<math>\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \frac{x^6}{6!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}}{ 4n \right) !} - \frac{x^{4n+2}}{ \left( 4n+2 !} \right) </math>
<math>\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \frac{x^7}{7!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n+1}}{ 4n+1 \right) !} - \frac{x^{4n+3}}{ \left( 4n+3 !} \right) </math>

wenn wir diese jetzt in die Formel für e ix einsetzen erhalten wir

<math>e^{ix} = \cos\left(x\right) + i \sin(x) </math>.

i hoch i

Die Potenz i i der imaginären Einheit kann man mit Eulerschen Identität so berechnen: Setzt man π/2 die Identität ein erhält man

<math>e^{i \frac{\pi}{2} } = i</math>
Erhebt man beide Seiten in die i -te Potenz erhält man
<math>i^i = e^{i^2 \frac{\pi}{2} } = e^{- }</math>
und man erhält schließlich den reellen
<math>i^i = 0{ }2078795763\dots</math>



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