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Eulersche Zahl


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Die nach Leonhard Euler benannte Eulersche Zahl e =2 718281828459... ist die Basis des so natürlichen Logarithmus . Sie spielt in der Infinitesimalrechnung ( Differential - und Integralrechnung ) eine große Rolle. Die e -Funktion ( Exponentialfunktion ) f ( x )= e x = e ^ x (gesprochen e hoch x ) ist im wesentlichen die einzige Funktion beim Differenzieren unverändert bleibt.

Die Zahl e kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die zwei bekanntesten Darstellungen transzendenten Zahl lauten:

  1. <math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
  2. <math>e = 1 + \frac{1}{1} + + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} +
wobei man letztere Formel durch die Fakultätsschreibweise mit dem "!"-Zeichen im allgemeinen abkürzt
<math>e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}</math>

Da e eine transzendente Zahl ist ist der Dezimalbruch unendlich und nicht periodisch .

Es gilt:

(e x )' = e x (Die Ableitung (von f(x)=e x ) ist gleich f(x))
e i ·π = -1 (Dabei ist i die imaginäre Einheit und π die Kreiszahl pi) dies ist die Eulersche Identität

Der Buchstabe e für diese Zahl wurde zuerst von benutzt es ist jedoch anzunehmen daß dies aus praktischen Gründen geschah als in Anlehnung seinen Namen. Die Buchstaben a b c und d waren und sind in der Mathematik benutzt weshalb e eine gute Wahl für die Eulersche ist.

Inhaltsverzeichnis

weitere Formeln für die Eulersche Zahl

<math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>

Eine eher unübliche aber bemerkenswerte Darstellung Eulerschen Zahl ist zum Beispiel die Catalansche

<math>e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 15}}\cdots</math>

Um 1975 entdeckte der Schweizer Felix Keller folgende Formel die gegen e konvergiert Formel wurde zum ersten Mal 1998 auf Finch's Website http://www.mathsoft.com veröffentlicht und "Keller's Expression" genannt):

<math>e = \lim_{n\to\infty} \left({\rm }\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} - \frac{(n-1)^{n-1}}{(n-2)^{n-2}}\right)</math>

Für jede komplexe Zahl z gilt:

<math>e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n</math>
Siehe auch den Artikel Exponentialfunktion .

Programmbeispiele zur Berechnung von e

Die mathematische Reihe kann man sehr in ein Pseudocode -Programm umsetzen um Näherungswerte für e zu ermitteln:

 E = 1 : F = For K = 1 to 10 F F*K E = E + 1/F Print Next K  

Am Anfang hat man E und gleich 1 gesetzt. F ist die Fakultätsvariable nach dem gewünschten Ausdruck zu F = anwächst. Mit wachsendem Schleifendurchlauf nähert sich der von E immer mehr an den wahren von e an.

Eine weitere Variante in der Programmiersprache C :

 main() { unsigned long f=1; double int k; for (k=1; k<=10; ++k) { e+=1.0/f; printf("%f\n" e); } }  

Die Ausführung ergibt

 2.000000 2.500000 2.666667 2.708333 2.716667 2.718056 2.718279 2.718282 2.718282  

Anschauliche Interpretationen

Den Grenzwert der ersten Formel kann folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar Euro auf der Bank ein. Die Bank ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz von 100%. Wie groß ist sein am 1. Januar des nächsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach n Verzinsungen K n = K 0 * (1+ p ) n wobei K 0 das Startkapital p der Zinssatz und n die Anzahl der Verzinsungen sind.

In unseren Beispiel sind K 0 = 1 EUR p = 100% = 1 wenn der jährlich erfolgt oder p = 100% / n = 1/ n wenn der Zinszuschlag n mal im Jahr erfolgt.

Bei jährlichem Zuschlag wäre K 1 = 1*(1+1) 1 EUR = 2 00 EUR. Bei Zuschlag hat man p = 1/2 also K 2 = 1*(1+0 5) 2 EUR = 2 25 EUR also etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung ( p =1/365) erhalten wir K 365 = 1*(1+1/365) 365 = 2 714567... EUR. Wenn man verzinst wird n unendlich groß und man bekommt die angegebene 1. Formel für e .

Unerwarteterweise ist e auch häufig in Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: Angenommen ein Bäcker gibt für Brötchen eine Rosine in den Teig und gut durch. Nachher enthält jedes e-te Brötchen Rosine vorausgesetzt es werden genügend viele Brötchen Aus der Wahrscheinlichkeit alle n Rosinen in Brötchen sind ergibt sich für unendlich viele: = \lim_{n\to\infty}\left(\frac {n-1}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac {1}{n}\right)^n =

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