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Exponentialfunktion


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Die Exponentialfunktion (engl.: exponential function) ist eine der Funktionen der Mathematik . Man schreibt sie als exp ( x ) oder e x (wobei e die Eulersche Zahl ist).

Man kann die Exponentialfunktion auf zwei definieren:

<math>\exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n n!}</math>
<math>\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( + {x \over n} \right)^n</math>

(siehe Limes Folgen und Reihen ). Das n ! steht für Fakultät . x kann eine beliebige reelle oder komplexe Zahl sein.

Für reelle Argumente x ist die Exponentialfunktion exp( x ) positiv und streng monoton wachsend. Deshalb existiert die Umkehrfunktion der natürliche Logarithmus ln( x ) der für alle positiven reellen Zahlen x definiert ist. Mit Hilfe des natürlichen kann man allgemeinere exponentielle Funktionen (reelle Potenzen ) definieren:

a x = exp(ln( a ) x )
für alle a > 0 und alle reellen x .

Inhaltsverzeichnis

Rechenregeln

Die Exponentialfunktion "verwandelt" Multiplikation in Addition. zeigen das die folgenden Gesetze:

a 0 = 1
a 1 = a
a x + y = a x a y
a ( xy ) = ( a x ) y
1 / a x = (1/ a ) x = a - x
a x b x = ( ab ) x

Diese Gesetze gelten für alle positiven a und b und alle reellen x . Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:

1 / a = a -1
a = a 1/2
n a = a 1/ n

Ableitung

Die große Bedeutung der Exponentialfunktion ist der Tatsache zu finden dass ihre Ableitung wieder die Exponentialfunktion ist:

exp'( x ) = exp( x ) ( e x )' = e x

Allgemeiner gilt

d/d x a bx = ln( a ) b a bx .

Das bedeutet dass man eine Größe Wachstum proportional zu ihrem Wert ist (wie Bevölkerungswachstum oder radioaktiver Zerfall) als Konstante mal Exponentialfunktion der Zeit schreiben kann.

Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen

Wenn man die Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen definiert (über die gleichen Reihen) behält folgende wichtige Eigenschaften:

exp( z + w ) = exp( z ) exp( w )
exp(0) = 1
exp( z ) ≠ 0
exp'( z ) = exp( z )

für alle z und w . Die Exponentialfunktion ist holomorph und periodisch mit einer imaginären Periode 2π i . Deshalb ist die Umkehrfunktion im Komplexen komplexe Logarithmus eine vielwertige Funktion ln( z ). Man kann auch hier eine allgemeine Potenz definieren:

z w = exp(ln( z ) w )

für alle komplexen z und w . Das ist dann auch eine vielwertige Die obigen Gesetze für Potenzen gelten weiterhin für vielwertige Funktionen.

Über die Eulersche Formel erzeugt die die trigonometrischen Funktionen und die hyperbolischen Funktionen

Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren

Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren Sie ist immer noch über die Reihe

<math>\exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n n!}</math>
definiert die für alle möglichen Werte konvergiert. Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und Exponentialfunktion
exp(x+y)=exp(x)exp(y)
ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur gültig für Werte x und y die also für Werte mit xy = yx. ist in den reellen oder komplexen Zahlen immer erfüllt da die Multiplikation dort kommutativ

Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungen mit Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra Menge der nxn-Matrizen mit komplexen Einträgen.

Weblinks



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