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Finite-Volumen-Verfahren


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Das Finite-Volumen-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen.

Erhaltungsgleichungen sind spezielle partielle Differentialgleichungen denen ein Erhaltungssatz zugrunde liegt beispielsweise der Satz von Energieerhaltung. Am prominentesten ist der Einsatz der in der numerischen Strömungsdynamik wo es zur Lösung der Euler - und Navier-Stokes-Gleichungen der Gasdynamik benutzt wird.

Das Prinzip ist folgendes:

Zunächst wird das Gebiet auf dem Gleichung untersucht werden soll in eine endliche Zahl an Gitterzellen (die Volumen) zerlegt. In dieser Zellen gilt der Erhaltungssatz. Die Veränderung erhaltenen Größe (z.B. der Energie) in einer kann also nur durch Ab- oder Hinzufließen diesem Fall von Energie) über den Rand Zelle passieren.

Berechnet man diese Flüsse - oder eine gute Approximation - lässt sich so Gleichungssystem aufstellen das die Veränderung mit der in den Zellen beschreibt. Mathematischer formuliert: man ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Jenes wird numerischer Methoden für gewöhnliche Differentialgleichungen näherungsweise gelöst.

Finite Volumen Verfahren lassen sich als Finite-Elemente-Verfahren auffassen bei denen man stückweise konstante stückweise lineare Ansatzfunktionen wählt die auf den und nicht auf den Gitterpunkten leben. Ein Vorteil sind die Flexibilität bei der Wahl Gittergeometrie sowie das natürliche Zulassen von unstetigen wie sie in der Gasdynamik häufig auftreten.

Entwickelt wurden die Methode im Laufe 1950er Jahre fuer die Raumfahrt insbesondere von dem russischen Mathematiker Godunov 17. Juli 1929 ).



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