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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenSamstag, 7. Dezember 2019 

Formelsammlung Geometrie


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Die Formelsammlung zur Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung in der auch Formeln der anderen zu finden sind.

Inhaltsverzeichnis

Geometrie in der Ebene

Abbildungen

Winkel

Nebenwinkel
Nebenwinkel betragen zusammen immer 180°.
Scheitelwinkel
Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Stufenwinkel
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
Wechselwinkel
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
Außenwinkel
Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.
Winkelsummen
Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180°
Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck ist immer 360°
Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck ist immer (n-2)*180°

Teilung einer Strecke

Dreieck

  • Benennung der Seiten und Winkel
  1. Der Innenwinkel beim Eckpunkt A nennt man (griechische Kleinbuchstaben)
  2. Die Dreiecksseite (bzw. deren Länge) gegenüber der A nennt man a

  1. Alle Seiten sind gleich lang
  2. Alle Winkel sind gleich groß (60°)
  3. Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende

  1. 2 Seiten sind gleichlang ( Schenkel a und b)
  2. Die zwei Basiswinkel (<math>\alpha</math> und <math>\beta</math>)sind gleich
  3. Die Höhenlinie halbiert den Winkel <math>\gamma</math>
  4. Die Höhenlinie halbiert die Basis c

  • Rechwinkliges Dreieck
  1. <math>\alpha</math> + <math>\beta</math> = 90°
  2. Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber
  3. Satz des Pythagoras : (Kathete a) 2 + (Kathete b) 2 = (Hypotenuse c) 2

  1. Die Seitenhalbierenden sind die Schwerelinien
  2. Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt Schwerpunkt S.

  1. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten entspricht dem Mittelpunkt Umkreises .

  1. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden entspricht dem Mittelpunkt Inkreises .
  2. w <math>\alpha</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\alpha</math>.

  • Höhenschnittpunkt
  1. Die Höhen schneiden sich in einem Punkt.
  2. Die Höhe h c ist die Höhe vom Punkt C aus auf die c.
  3. D ist der Höhenfußpunkt von h c .

  • Flächenberechnung mit Grundseite und Höhe
<math>A=\frac{g \cdot h}{2}</math>

  • Flächenberechnung mit einem Winkel
<math>A=\frac{b\cdot c\cdot \sin(\alpha)}{2}</math>
( b und c sind die den Winkel <math>\alpha</math> einschließenden

Satzgruppe des Pythagoras

Kongruenzsätze

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich sie übereinstimmen in

  1. drei Seiten (sss)
  2. zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
  3. zwei Seiten und dem Gegenwinkel der Seite (Ssw)
  4. einer Seite und den beiden anliegenden (wsw)

Ähnlichkeitssätze

Zwei Dreiecke sind ähnlich wenn

  1. drei Paare entsprechender Seiten das gleiche haben
  2. zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen übereinstimmen
  3. zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
  4. zwei Winkel übereinstimmen

Strahlensätze

Vierecke

Quadrat (Geometrie)

  • Quadrat Umfang:
<math> U = 4\cdot a </math>
  • Quadrat Fläche:
<math> A = a^2 </math>
  • Diagonale im Quadrat:
<math> d = a\cdot \sqrt{2}</math>

Rechteck

  • Rechteck Umfang:
<math> U = 2\cdot a + 2\cdot
  • Rechteck Fläche:
<math> A = a\cdot b </math>
  • Diagonale im Rechteck:
<math> d = \sqrt{a^2 + b^2}</math>

Raute (Rhombus)

  • Raute Umfang:
<math> U = 4\cdot a </math>
  • Raute Fläche:
<math> A = \frac {1} {2} \cdot \cdot f</math>
  • Diagonalen in der Raute:
<math> e^2 + f^2 = 4\cdot a^2

Parallelogramm

  • Parallelogramm Umfang:
<math> U = 2\cdot (a + b)</math>
  • Parallelogramm Fläche:
<math> A = a\cdot h_a = b\cdot </math>

Trapez

  • Trapez Umfang:
<math> U = a + b + + d </math>
  • Trapez Fläche:
<math> A = m\cdot h</math>
<math> m = \frac {1} {2} (a b)</math>

Geometrie am Kreis

Regelmäßige Vielecke

Kreis Kreisteile

  • Kreisumfang
<math>U = 2 \cdot \pi \cdot r \pi \cdot d</math>
  • Kreisfläche
<math>A = \pi \cdot r^2 </math>

  • Länge eines Kreisbogens
<math>b = 2 \cdot \pi \cdot r { \alpha \over 360^\circ}</math>
  • Fläche eines Kreisausschnittes (Sektor)
<math>A = \pi \cdot r^2 \cdot { \over 360^\circ}</math>

  • Fläche eines Kreisabschnittes (Segment)
<math>A = {{r^2} \over {2}} \cdot \left( \cdot {\alpha} } \over{180^\circ}} - \sin \alpha

Ellipse

  • Grundformel der Ellipse
<math>b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2

  • Fläche
<math>A=2\cdot \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^2 b^2 - b^2 x^2}{a^2}}\ dx</math>

Geometrie im Raum

Einfache Körper

Regelmäßige Körper

Zylinder

  • Volumen gerader und schräger Zylinder
<math>V = \pi \cdot r^2 \cdot h</math>

  • Mantel gerader Zylinder
<math>M = 2 \cdot \pi \cdot r h = \pi \cdot d \cdot h</math>

  • Oberfläche gerader Zylinder
<math>O = 2 \cdot \pi \cdot r h + 2 \cdot \pi \cdot r^2 2 \cdot\pi \cdot r \cdot (h +

Kegel

  • Volumen von senkrechten und schrägen Kegeln
<math>V = {1 \over 3} \cdot \pi r^2 \cdot h</math>

  • Mantel von senkrechten Kegeln
<math>M = \pi \cdot r \cdot s</math>

  • Oberfläche von senkrechten Kegeln
<math>O = \pi \cdot r \cdot s \pi \cdot r^2 = \pi \cdot r (s + r)</math>

  • Zusammenhang von Radius Höhe und Seitenhöhe
<math>s^2 = r^2 + h^2</math>

Kugel und Kugelteile

  • Volumen einer Kugel
<math>V = {4 \over 3} \cdot \pi r^3</math>

  • Oberfläche einer Kugel
<math>O = 4 \cdot \pi \cdot r^2</math>

  • Umfang einer Kugel
<math>U = 2 \cdot \pi \cdot r \pi \cdot d</math>

  • Kugelkalotte (Kugelmütze)
<math>A = 2 \cdot r \cdot \pi h </math>

  • Kugelsegment
<math>O = 2 \cdot \pi \cdot h \rho^2 \pi</math>
<math>V = {h^2 \cdot \pi \over 3} (3r - h)</math>

  • Kugelzone
<math>A = 2 \cdot r \cdot \pi h </math>

Ellipsoid und Drehkörper

Ellipsoid

  • Volumen
<math>V=\pi \cdot \int_{-a}^{a} \frac{a^2 b^2 - b^2 dx</math>

Trigonometrie

Trigonometrische Funktionen

Definitionen

<math>\sin \alpha = {Gegenkathete \over Hypotenuse}= {a c}</math>

<math>\cos \alpha = {Ankathete \over Hypotenuse}= {b c}</math>

<math>\tan \alpha = {Gegenkathete \over Ankathete} = \over b}</math>

Eigenschaften von sin cos und tan

<math>(\sin \alpha)^2 + (cos \alpha)^2 = 1</math>

<math>\tan \alpha = {{sin \alpha} \over {cos

<math>\sin \alpha = \cos (90^\circ - \alpha)</math>

sin cos und tan am Einheitskreis

Vorzeichen für Winkel zwischen 0° und 360°

Sinussatz

<math>{{\sin \alpha} \over a} = {{\sin \beta} b} = {{\sin \gamma} \over c}</math>

Cosinussatz

<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 b \cdot c \cdot \cos \alpha</math>
<math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 a \cdot c \cdot \cos \beta</math>
<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 a \cdot b \cdot \cos \gamma</math>

Grad und Radiant

  • Grad : 360° entsprechen einem Vollwinkel
  • Neugrad : 400g (gon) entsprechen einem Vollwinkel
  • Bogenmaß / Radiant : 2<math>\pi</math> entsprechen einem Vollwinkel
  • Umrechnung Grad in Bogenmaß
<math>b = {{2 \cdot \pi \cdot \alpha} 360^\circ }</math>

Näherungen für für sin x cos x tan x

Arcusfunktionen



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