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Fourier-Transformation


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Die Fourier-Transformation ist eine Frequenz-Transformation die eine Funktion in ihre Sinus - und Kosinus -Bestandteile ( Basisfunktionen ) mit verschiedenen Frequenzen zerlegt. Entsprechend dieser inspirierten Betrachtungweise wird die Transformation einer Funktion in den Frequenzbereich auch Fourieranalyse :
<math>\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i \omega \ d t</math>
bezeichnet die Rücktransformation als Fouriersynthese :
<math>\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) \omega t} \ d \omega.</math>

Sie ist nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier benannt.

Alternativ kann man als Basisfunktion auch Exponentialfunktion mit imaginärem Argument (also exp(iwt) oder e iwt ) verwenden da in diesem Fall der Realteil der Exponentialfunktion dem Kosinus und der Imaginärteil dem Sinus entspricht. Diese Form nennt man auch komplexe Fourier-Transformation da die transformierte Funktion komplexe annimmt und die zu transformierende Funktion komplexe annehmen kann .

Je nach Definitionsmenge A der zu transformierenden Funktion und Definitionsmenge B der transformierten Funktion unterscheidet man:

Verallgemeinerung

Als verallgemeinerte Fouriertransformation wird jede Zerlegung einer Funktion in System von Basisfunktionen bezeichnet. Dabei müssen die geeignet gewählt werden so dass die Zerlegung und umkehrbar ist: sie müssen ein vollständiges im betrachteten Funktionenraum bilden.

Die Fouriertransformation wird vor allem eingesetzt mit Differentialgleichungen einfacher zu rechnen.

Zur Berechnung der diskreten Fouriertransformation wird die Fast Fourier-Transformation (FFT) verwendet ein Algorithmus bei dem Anzahl der Rechenschritte zur Berechnung der Fourierkoeffizienten kleiner ist als bei einer direkten Implementation Integration.

Wegen der Bedeutung der Fouriertransformation in Signalverarbeitung sind Signalprozessoren besonders gut angepaßt an die Berechnung Fouriertransformation.

siehe auch: Laplace-Transformation Faltung



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