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Fundamentalsatz der Analysis


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Der Fundamentalsatz der Analysis auch bekannt als Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung bringt die beiden grundlegenden Konzepte der nämlich das der Integration und das der miteinander in Verbindung. Er besagt: Ist <math>I\subset\mathbb ein Intervall <math>f:I\to\mathbb R</math> eine stetige Funktion <math>a\in I</math> ein beliebiger Punkt so ist Funktion

<math>F:I\to\mathbb R \; x\mapsto \int_a^x f(t)\ dt</math>

stetig differenzierbar und ihre Ableitung ist = f</math>.

Inhaltsverzeichnis

Beweis des Fundamentalsatzes

Es sei <math>x\in I</math> fest und eine Nullfolge mit der Eigenschaft dass <math>h_n 0</math> und <math>x + h_n \in I</math> gilt. Dann gibt es nach dem Mittelwertsatz Integralrechnung zu jedem <math>n</math> ein <math>c_n</math> zwischen und <math>x+h_n</math> so dass

<math>F(x+h_n) - F(x) = \int_x^{x+h_n} f(t)\ dt f(c_n)\cdot h_n</math>

gilt. Nach dem Einschnürungsprinzip für Folgen <math>c_n\to x</math> und wegen der Stetigkeit von folgt daraus

<math>\lim_{n\to\infty} \frac{F(x+h_n) - F(x)}{h_n} = \lim_{n\to\infty}
f(c_n) = f(\lim_{n\to\infty} c_n) = f(x)

d.h. <math>F</math> ist in <math>x</math> differenzierbar der Ableitung <math>f(x)</math>.

Anwendungen

Berechnung von Integralen durch Stammfunktionen

Die hauptsächliche Bedeutung des Fundamentalsatzes liegt dass er es ermöglicht die Integrale vieler exakt zu berechnen. Dazu verwendet man die Folgerung aus dem Fundamentalsatz: ist <math>I</math> wieder Intervall <math>f:I\to\mathbb R</math> stetig und <math>F:I\to\mathbb R</math> Stammfunktion zu <math>f</math> (also eine differenzierbare Funktion <math>F' = f</math>) so gilt für beliebige b\in I</math>:

<math>\int_a^b f(x)\ dx = F(b)-F(a)</math>.

Der Beweis dieser Folgerung ergibt sich dass sich Stammfunktionen derselben Funktion nach dem der Differentialrechnung nur um eine additive Konstante können die aber wegen der Differenzbildung nicht Gewicht fällt.

Damit ist das Problem der Berechnung Integralen auf das Problem der Bestimmung von zurückgeführt; dies ist jedoch im allgemeinen sehr

Beispiele

Die auf ganz <math>\mathbb R</math> definierte <math>f(x) = x^2</math> besitzt die Stammfunktion <math>F(x) x^3/3</math> und wir erhalten somit

<math>\int_0^2 x^2\ dx = F(2) - F(0) \frac 8 3.</math>

Die auf <math>I = [-1 1]</math> Funktion <math>g(x) = \sqrt{1-x^2}</math> deren Graph den eines Einheitshalbkreises beschreibt besitzt die Stammfunktion <math>G(x) \frac12(\arcsin x + x\cdot g(x))</math>. Für die des Einheitskreises erhält man somit den Wert

<math>2\int_{-1}^1 g(x)\ dx = 2(G(1) - G(-1)) \pi.</math>

An diesem Beispiel zeigt sich bereits schwierig es sein kann Stammfunktionen gegebener Funktionen zu erraten; in vielen Fällen helfen jedoch Verfahren der Produktintegration und der Substitutionsregel .



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