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Fundamentalsatz der Arithmetik


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Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt dass jede natürliche Zahl eine Primfaktorzerlegung besitzt und dass diese bis auf Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist.

Zum ersten Mal vollständig und korrekt findet sich der Fundamentalsatz der Arithmetik in Disquisitiones Arithmeticae von Carl Friedrich Gauß . Er war aber bereits wenn auch leicht abgewandelter Form Euklid bekannt.

Bemerkenswert ist dass der Beweis der der Zerlegung nicht ohne die additive Struktur natürlichen Zahlen auskommen kann. Ein Beispiel aus hervorgeht warum dies so ist geht auf David Hilbert zurück: Betrachtet man die Menge

<math>H:=\{3j+1: j\in\mathbb{N}\}</math>
der "Hilbert-Zahlen" so könnte man jeden der Eindeutigkeit in den natürlichen Zahlen der auf Multiplikation beruht auf diese Zahlen übertragen. H ist aber die Zerlegung nicht eindeutig zum Beispiel 100 = 25·4 = 10·10 Man beachte dass 4 10 und 25 "Hilbert-Primzahlen" sind da sie in H nicht weiter zerlegt werden können. ( Hinweis: Die in diesem Absatz benutzte Bezeichnung wurde nur der einfacheren Erklärung wegen eingeführt ist nicht mathematisches Allgemeingut. )



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