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Funktionalanalysis


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Die Funktionalanalysis ist der Zweig der Mathematik der sich mit dem Studium von beschäftigt. Die Funktionalanalysis kann als Teil oder Erweiterung der Analysis angesehen werden.

Die historischen Wurzeln der Funktionalanalysis liegen Studium der Fourier-Transformation (und ähnlicher Transformationen) und der Untersuchung Differential- und Integralgleichungen . Der Wortbestandteil "funktional" geht zurück auf Variationsrechnung : Funktionale sind Funktionen deren Argumente wiederum Funktionen sind.

Aus moderner Sicht besteht die Funktionalanalysis dem Studium vollständiger normierter Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen. Solche Räume heißen Banachräume . Ein wichtiges Beispiel sind Hilberträume bei denen die Norm von einem Skalarprodukt erzeugt wird. Diese Räume sind von Bedeutung für die mathematische Formulierung der Quantenmechanik . Etwas allgemeiner werden in der Funktionalanalysis Fréchet-Räume und andere topologische Vektorräume untersucht die keine Norm haben.

Ein wichtiger Untersuchungsgegenstand sind stetige lineare Operatoren auf Banach- oder Hilbert-Räumen.

Hilberträume können vollständig klassifiziert werden: Für Mächtigkeit einer Basis existiert (bis auf Isomorphie ) genau ein Hilbertraum. Da endlich-dimensionale Hilberträume der linearen Algebra erfasst werden und jeder Morphismus zwischen zerlegt werden kann in Morphismen von Hilberträumen Dimension <math>\aleph_0</math> (Aleph Null siehe Abzählbarkeit ) betrachtet man in der Funktionalanalysis hauptsächlich Hilbertraum der Dimension Aleph Null und seine

Banachräume sind dagegen viel komplexer. Es zum Beispiel keine praktisch nutzbare allgemeine Definition Basis (z.B. ist eine Basis vom unter Basis (Vektorraum) beschriebenen Typ hier meist nicht-konstruktiv lässt also nicht explizit angeben). Deshalb ist der der Hamelbasis eingeführt worden.

Für jede reelle Zahl p ≥ 1 gibt es den Banachraum Lebesgue-messbaren Funktionen deren p-te Potenz des Betrags ein endliches Integral hat" (siehe Lp-Raum).

Beim Studium von Banachräumen ist die des Dualraumes ein wichtiger Teil. Der Dualraum besteht allen stetigen linearen Funktionen vom Banachraum in reellen (oder komplexen) Zahlen. Wie in der Algebra muss auch hier der Dualraum des nicht isomorph zum ursprünglichen Raum sein aber gibt stets einen Monomorphismus von einem Raum in das Dual Dualraums.

Der Begriff der Ableitung lässt sich auf Funktionen zwischen Banachräumen verallgemeinern dass die Ableitung in einem Punkt stetige lineare Abbildung ist.



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