Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMontag, 23. September 2019 

Gammafunktion


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die Gammafunktion ist eine meromorphe Funktion die definiert wird als

<math>\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \mathrm{d}t</math>

für x > 0. Die Gammafunktion keine Nullstellen.

Sie ermöglicht die Berechnung der Fakultätsfunktion für nicht-ganzzahlige Werte und dient als für die Definition der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung .

Für ganzzahlige positive Werte gilt

<math>\Gamma(n)=(n-1)!</math>

was sich aus der Funktionalgleichung

<math>\Gamma(x+1) = x\cdot\Gamma(x)</math>

induktiv ergibt.

Darstellungsformen

Eine weitere Ausweitung des Definitionsbereichs erlaubt Darstellung der Gammafunktion nach Gauß :

<math>\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n!\ n^x}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)} x \in \mathbb{R}\backslash \{0 -1 -2 \dots\}.</math>

Direkt aus der Gaußschen Darstellungsform abgeleitet diejenige von Karl Weierstraß :

<math>\Gamma(x) = \left[ x \cdot \mathrm{e}^{\gamma x} \prod_{k=1}^{\infty} \left(1+\frac{x}{k}\right)\mathrm{e}^{-x/k} \right]^{-1} </math>

wobei die Eulersche Konstante γ definiert ist als

<math>\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n - \ln n \right).</math>

Näherungswerte der Gammafunktion für x > 0 liefert die Stirlingsche Formel

<math>\Gamma(x) = \sqrt{2\pi}x^{x-1/2}\mathrm{e}^{-x+\mu(x)} \; \hbox{mit} \; 0 \mu(x) < \frac{1}{12x}.</math>

Der Satz von Bohr-Mollerup

Der Satz von Bohr-Mollerup ( 1922 ) erlaubt eine erstaunlich einfache Charakterisierung der Gammafunktion .


Theorem : Eine Funktion G : (0; ) <math>\mathbb{R}_+ </math> ist in diesem Bereich die Gammafunktion wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  1. G (1) = 1
  2. G (x+1) = x · G
  3. G ist logarithmisch konvex


Funktionalgleichungen

Der Ergänzungssatz der Gammafunktion

<math>\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin \pi x}</math>

erleichtert die Berechnung von Werten der Gammafunktion aus bereits bekannten Funktionswerten ebenso wie Legendresche Verdopplungsformel

<math>\Gamma\left(\frac{x}{2}\right)\Gamma\left(\frac{x+1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{x-1}}\Gamma(x).</math>

Geschichtliches

1730 stellte Leonhard Euler in einem Brief an Christian Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion vor:

<math>\Gamma(x) = \int_0^1 \left[\ln\left(\frac{1}{t}\right)\right]^{x-1} \mathrm{d}t</math>

(diese Funktionsdefinition geht durch die Substitution u = ln (1/t) in die Form über)

Dieses Integral entdeckte Euler bei der Untersuchung eines Problems aus Mechanik bei dem die Beschleunigung eines Partikels wird.

Literatur

  • E. Artin Einführung in die Theorie der Gammafunktion . Leipzig Teubner 1931.
    (nur noch in Bibliotheken erhältlich)
  • K. Königsberger Analysis I . Heidelberg Springer 2003 ISBN 3-540-40371-X .

Weblinks



Bücher zum Thema Gammafunktion

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Gammafunktion.html">Gammafunktion </a>