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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenFreitag, 18. Oktober 2019 

Gammaverteilung


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Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Sie ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
<math>f(x)={b^p\over\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx}</math>
für x >0; für andere Werte von x wird sie durch f ( x )=0 fortgesetzt. Sie besitzt die Parameter b und p ; um ihre Normierbarkeit zu garantieren wird b p > 0 gefordert.

Der Vorfaktor b p /Γ( p ) dient der korrekten Normierung; der Ausdruck steht für die Gammafunktion nach der die Verteilung auch benannt

Erwartungswert und Varianz der Gammaverteilung sind

<math>{\rm E}(X)={p \over b}\quad \mbox{und} \quad {\rm \over b^{2}}.</math>

Die Gammaverteilung ist reproduktiv : Die Summe aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen X und Y die beide gammaverteilt sind mit den b und p x bzw. p y ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern b und p x + p y .

Die Gammaverteilung bildet eine sog. Familie einige theoretische Verteilungsfunktionen:

  • Die χ2-Verteilung mit k Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den p = k /2 und b = 1/2.

  • Die Exponentialverteilung mit dem Parameter λ ist eine mit den Parametern p = 1 und b = λ .

  • Der Quotient X /( X + Y ) aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen X und Y die beide gammaverteilt sind mit den b und p x bzw. p y ist betaverteilt mit den Parametern p x und p y .

Bilder

Wahrscheinlichkeitsdichte :

kumulierte Verteilungsfunktion :

Literatur

  • Lindgren Bernard W.: Statistical Theory New York etc. 1993
  • Fisz Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik Berlin 1970
  • P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik Leipzig 1991



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