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Gaußklammer


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In der Mathematik ist die Ganzzahl-Funktion (auch Abrundungsfunktion oder Gauß-Klammer engl. floor function ) eine folgendermaßen definierte Funktion :

Für eine reelle Zahl x ist floor( x ) die größte ganze Zahl die kleinergleich x ist.

Man schreibt die Ganzzahl-Funktion auch als x ] oder als <math>\lfloor x \rfloor</math>.

Zum Beispiel ist floor(2 3) = floor(-2 3) = -3 floor(2) = 2.

Es gilt immer

<math>
 \lfloor x \rfloor \le x < x \rfloor+1  
</math> Dabei ist floor( x )= x genau dann wenn x eine ganze Zahl ist. Für jede Zahl k und jede reelle Zahl x gilt
<math>
 \lfloor x+k \rfloor = \lfloor x  
</math>

Die gewöhnliche Rundung auf die nächstliegende Zahl erreicht man mit floor( x + 0 5).

Die Ganzzahl-Funktion ist nicht stetig aber oberhalbstetig .

Eine eng verwandte Funktion ist die Aufrundungsfunktion (engl. ceiling function ) die so definiert ist:

Für jede reelle Zahl x ist ceiling( x ) die kleinste ganze Zahl die größergleich x ist.

Man schreibt diese Funktion auch als x \rceil</math>.

Zum Beispiel ist ceiling(2 3) = ceiling(-2 3) = -2 ceiling(2) = 2.

Es ist stets

<math>\lceil x \rceil = - \lfloor -x
und
<math>\lceil x \rceil \ge x > \lceil \rceil</math>

Für jede ganze Zahl k gilt

<math>\lfloor k/2 \rfloor + \lceil k/2 \rceil k </math>

Sind m und n teilerfremde natürliche Zahlen dann gilt

<math>\sum_{j=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{jm}{n} \right\rfloor = \frac{(m-1)(n-1)}{2}</math>



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