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Normalverteilung


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Die Normalverteilung oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß ) ist die wichtigste kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung . Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß-Funktion Gauß-Kurve oder Glockenkurve genannt.

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz der besagt dass eine Summe von n unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariable in der Grenze n →∞ normalverteilt ist.

Die Normalverteilung ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

<math>f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\
e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math> wobei σ die Standardabweichung und μ der Erwartungswert ist.

Ist eine Zufallsvariable <math>X</math> normalverteilt mit dem Erwartungswert <math>\mu</math> der Standardabweichung <math>\sigma</math> so schreibt man <math>X N(\mu \sigma)</math>.

Standardnormalverteilung

Ist der Erwartungswert 0 und die 1 so spricht man von einer standardnormalverteilten Eine normalverteilte Zufallsvariable <math>X</math> mit beliebigen Parametern mittels der Transformation

<math> Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

in eine standardnormalverteilte Variable <math>Z</math> überführt

So sieht die Dichtefunktion einer Standardnormalverteilung aus. sind die Intervalle im Abstand 1 2 3 Standardabweichungen vom Erwartungswert 0 die rund 95 5% und 99 7% der Fläche der Glockenkurve umfassen.

Die Normalverteilung ist eine Grenzverteilung die direkt beobachtet werden kann. Die Annäherung verläuft mit wachsendem n sehr schnell so dass die Verteilung einer Summe von 30 oder unabhängigen identisch verteilten Zufallsgrößen einer Normalverteilung recht ist.

Die Glockenkurve schmückte neben dem Portrait Carl Friedrich Gauß bis 2001 den 10 DM -Schein.

Berechnung von normalverteilten Zufallsvariablen

Eine normalverteilte Zufallsvariable <math>x</math> lässt sich anderem mit der Methode von Box-Muller aus gleichverteilten Zufallsvariablen <math>u_1 u_2=U(0 1)</math> berechnen:

<math>x=(-2\log u_1)^{1/2}cos(2\pi u_2)</math>

Die Methode von Marsaglia ist auf Computer noch schneller da sie nur einen benutzt:

  1. Generiere zwei gleichverteilte Zufallsvariablen <math>u_1 u_2=U(0 1)</math>
  2. Berechne <math>v=(2u_1-1)^2+(2u_2-1)^2</math>. Falls <math>v \ge 1</math> wiederhole
  3. <math>x=(2u_1-1)(-2\log v /v)</math>

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