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Gleitkommazahl


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Inhaltsverzeichnis

Idee

Eine Gleitkommazahl (auch: Fließkommazahl Gleitpunktzahl binäre Gleitkommazahl ) ist eine digitale Näherung für eine reelle Zahl die in Computern verwendet wird. Im Gegensatz zur Festkommadarstellung dabei die Zahl geteilt in eine Mantissse einem Exponenten gespeichert wodurch ein größerer Wertebereich bei Festkommadarstellung abgedeckt werden kann. Diese Darstellung von Konrad Zuse für seine Computer Z1 und Z3 erfunden.

Eine Gleitkommaberechnung ist eine arithmetische Operation mit Gleitkommazahlen ausgeführt wird.

Beispiele von Gleitkommazahlen:

  • 5 0
  • 0 003
  • 3 1419 (keine weiteren Stellen)
  • 8E17 (äquivalent zu 8·10 17 )

Bei Gleitkommazahlen ist nicht die absolute von Stellen konstant sondern die Anzahl signifikanter Stellen.

Das heißt dass man eine Zahl a durch zwei Zahlen m und e solcherart darstellen kann dass a = m · b e gilt. Zur Darstellung von Gleitkommazahlen wählt eine beliebige Basis b (auch: Radix) und eine Präzision p die angibt wieviele Ziffern gespeichert werden

Die Zahl m wird Mantisse genannt und ist eine Zahl mit p Stellen der Form +-z zzz...zzz . steht z stellvertretend für eine Ziffer zwischen und b -1. Eine Mantisse m heißt normalisiert wenn ihre erste Ziffer ungleich Null Bei Darstellungen von Gleitkommazahlen die ein Vorzeichenbit verwenden wird außerdem verlangt dass die positiv ist. e wird Exponent genannt. (Siehe auch: Logarithmus )

Durch die Darstellung von Gleitkommazahlen mit und Exponent erreicht man dass mehr Zahlen beschränktem Speicherplatz untergebracht werden können als bei

Beispiel:

Eine Gleitkommazahl mit vier dezimalen Stellen ( b = 10 p = 4) kann dazu verwendet werden oder 0 00004321 darzustellen. Es wird allerdings Kauf genommen dass bei einer derartigen Darstellung gerundet werden. So wird etwa aus 432 der Wert 432 1 und aus 43.212 der Wert 43.210. In der Praxis ist Anzahl der verwendeten Stellen meist größer als

Darstellung

Binäre Gleitkommazahlen werden analog zur wissenschaftlichen von Dezimalzahlen dargestellt. In der wissenschaftlichen Schreibweise die Zahl 0 00001234 als 1 234·10 -5 geschrieben oder die Zahl 123.400 als 234·10 5 . Die wissenschaftliche Schreibweise verwendet dabei eine Darstellung.

Für die Darstellung als Gleitkommazahl wird Zahl in drei Teile aufgespalten. Ein Vorzeichenbit zeigt dabei negative Werte der Mantisse Für die Mantisse wird eine gewisse Anzahl Bits festgelegt sie wird im Binärsystem gespeichert. Ebenso wird der Exponent als Anzahl von Bits gespeichert.

Das gebräuchliche IEEE -Format für Gleitkommazahlen verwendet eine normalisierte Darstellung Mantisse. Dadurch ist die Position des Kommas bekannt. Ebenso ist die Basis b = 2 implizit durch die binäre Codierung aller Zahlen bekannt.

Hidden Bit

Bei der Darstellung normalisierter Mantissen im Binärsystem kann ein Bit eingespart werden. Da erste Stelle einer normalisierten Zahl immer ungleich ist ist diese Stelle im Binärsystem immer 1. Das heißt dass diese erste Eins explizit gespeichert werden muss da dies implizit ist. Das erwähnte IEEE-Format für Gleitkommazahlen macht dieser Einsparungsmöglichkeit Gebrauch.

Allerdings bedeutet die Verwendung eines derartigen Bit dass die Null nicht mehr direkt Gleitkommazahl gespeichert werden kann. Für die Darstellung Null wird deshalb eine bestimmte Bitfolge reserviert.

Darstellung negativer Exponenten

Exponenten können ebenso wie die Mantisse sein. Meist werden negative Exponenten jedoch nicht Zweierkomplement dargestellt sondern in Biased-Darstellung . Dabei wird zum eigentlichen Exponenten eine Zahl der Bias addiert. Bei einem Bias von 127 aus einem Exponenten e = -1 etwa 126 aus e = -127 wird 0 und aus e = 7 wird 134. Die negativen werden also durch Addition des Bias in positiven Bereich verschoben.

Der Vorteil der Biased-Darstellung besteht darin auf diese Weise ein Größer/Kleiner-Vergleich zwischen zwei erleichert wird. Es genügt die Ziffernfolgen em also jeweils Exponent e gefolgt von Mantisse m lexikographisch miteinander zu vergleichen. Eine Gleitkomma-Subtraktion anschließendem Vergleich auf Null wäre weitaus aufwendiger. Nachteil der Biased-Darstellung gegenüber der Zweierkomplement-Darstellung besteht dass nach einer Addition zweier Biased-Exponenten der subtrahiert werden muss um das richtige Ergebnis erhalten.

Gleitkommazahlen in der Digitaltechnik

Die oben erwähnten Beispiele sind im Dezimalsystem angegeben das heißt mit einer Basis b = 10. Computer verwenden stattdessen das Binärsystem mit einer Basis b = 2. Gleitkommazahlen werden in Computern als Folgen von 32 Bit ("einfache Genauigkeit") oder 64 Bit ("doppelte dargestellt. Manche Prozessoren erlauben auch längere Gleitkommazahlen kennen die von der Intel x86 Serie abgeleiteten Prozessoren (u.a. Intel Pentium und AMD Athlon ) eine Gleitkommazahldarstellung mit 80 Bit für Manche Systeme erlauben auch Gleitkommazahlen mit 128

Die IEEE hat die Darstellung von Gleitkommazahlen in Standard IEEE 754 reglementiert; beinahe alle modernen Prozessoren folgen Standard. Ausnahmen sind einige IBM - Großrechnersysteme die VAX -Architektur und einige Supercomputer etwa von Cray .

Die tatsächliche Darstellung im Computer besteht aus einem Vorzeichen-Bit einigen Mantissen-Bits und einigen Wobei die Mantisse meist normiert ist und im Interval [1; 2[ darstellt. (Da in Interval das erste Bit mit der Wertigkeit Eins stets gesetzt ist wird es meist angenommen und nicht gespeichert.) Der Exponent wird im Biased-Format oder auch im Zweierkomplement dargestellt. Des weiteren werden zur Darstellung Werte (Null Unendlich Keine Zahl) meist einige z.B. der größtmögliche und der kleinstmögliche Exponent

Eine Zahl f wird demzufolge als f = s · m · 2 e dargestellt wobei s Element von {-1 1} ist.

IEEE 754 S/390
Mantisse (in Bit) Exponent (in Bit) Mantisse (in Bit) Exponent (in Bit)
Short 23 8 24 7
Long 52 11 56 7
Extended 64 15 112 7



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