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Gram-Schmidt


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Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Verfahren in der linearen Algebra um aus einer beliebigen Basis { b 1 ... b n } eines Vektorraums eine Orthonormalbasis für diesen Vektorraum zu konstruieren .

Durch die folgende Konstruktionsvorschrift entsteht in u 1 ... u n } rekursiv eine Orthonormalbasis:


  1. <math>u_1 = \frac{b_1}{||b_1||}</math>

  2. <math>v_i = b_i - \sum_{k=1}^{i-1} \langle u_k \rangle u_k</math>

  3. <math>u_i = \frac{v_i}{||v_i||}</math>

Die Schritte (2) und (3) werden alle i aus {2 ... n} durchlaufen. (1) und (3) führen jeweils zu einer der Vektoren u i auf die Länge 1. Vor Schritt beim i-ten Durchlauf bilden die Vektoren {u 1 ... u i-1 } jeweils eine Orthonormalbasis. In Schritt (2) nun ein Vektor v i so hinzugefügt dass er orthogonal auf Vektoren u 1 bis u i-1 steht und mit diesen den gleichen aufspannt wie die Vektoren b 1 bis b i (also auch wie die Vektoren u 1 ... u i-1 b i ). Dies wird dadurch erreicht dass vom b i alle Projektionen auf die Vektoren u 1 bis u i-1 abgezogen werden. Dadurch werden alle von bisherigen Basis {u 1 ... u i-1 } linear abhängigen Anteile abgezogen der resultierende v i steht orthogonal auf allen bisherigen Vektoren.



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