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Gruppentheorie-Glossar


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Dieses Glossar zur Gruppentheorie soll dem schnellen Nachschlagen dienen.

Zu diesem Zweck

  • ist es alphabetisch geordnet
  • enthält es möglichst knappe Definitionen
  • enthält es über Definitionen hinaus nur knappste wichtiger Zusammenhänge
  • wird auf Beispiele verzichtet
  • werden Links nur auf Artikel gesetzt die das Stichwort erklären (Querverweise innerhalb dieses Glossars per Link sondern per Kursivschrift ).

Eine thematisch geordnete Liste der meisten zur Gruppentheorie ist die Liste gruppentheoretischer Artikel .

In diesem Artikel verwenden wir folgende

  • e ist das neutrale Element einer Gruppe.


abelsch : heißt eine Gruppe ( G *) wenn die Verknüpfung * kommutativ also g*h = h*g für alle g h G . Benannt nach Niels Henrik Abel .

allgemeine lineare Gruppe GL( n F ) vom Grad n über einem Körper F : Menge aller invertierbaren n × n -Matrizen mit Koeffizienten aus F und mit der Matrixmultiplikation als Gruppenverknüpfung.

alternierende Gruppe Alt n oder A n : Menge aller geraden Permutationen einer Menge von n Elementen; für n >2 eine nicht-triviale Untergruppe der symmetrischen Gruppe .

Darstellung einer Gruppe vom Grad n : ein Homomorphismus von einer Gruppe auf allgemeine lineare Gruppe GL( n ..) mit der Absicht eine "abstrakte" durch invertierbare Matrizen darzustellen. Die Darstellungstheorie ist ein umfangreiches Unterkapitel der Gruppentheorie.

direktes Produkt beziehungsweise direkte Summe (bei additiver Verknüpfung) zweier Gruppen G und H : eine Gruppe deren Elemente Paare ( g h ) mit g G und h H sind.

einfach : heißt eine Gruppe die nur { e } und sich selbst als Normalteiler enthält. endliche Gruppe ist aus einfachen Gruppen zusammengesetzt. einfachen Gruppen sind abschließend klassifiziert.

Einselement : das neutrale Element in einer Gruppe mit multiplikativ aufgefasster

endlich : heißt eine Gruppe wenn sie endlich Elemente enthält.

Faktorgruppe (auch: Quotientengruppe Restklassengruppe ): für eine Gruppe G und einen Normalteiler N von G ist die Faktorgruppe G / N die Menge der Links-Nebengruppen { aN : a G } mit der Verknüpfung aN * bN = abN . Der Zusammenhang von Normalteilern Homomorphismen und ist im Homomorphiesatz zusammengefasst.

Grad einer Darstellung: Grad der allgemeinen linearen in die eine Darstellung abbildet.

Grad einer linearen Gruppe: die Zahl der oder Zeilen der quadratischen Matrizen aus denen Gruppe besteht. Siehe allgemeine lineare Gruppe .

Gruppen-Homomorphismus : siehe Homomorphismus von Gruppen .

Gruppen-Isomorphismus : siehe Isomorphismus von Gruppen .

Homomorphiesatz : verknüpft das Bild eines Gruppen-Homomorphismus mit Faktorgruppe nach seinem Kern.

Homomorphismus von Gruppen: eine Abbildung f : ( G *) → ( H ×) die die Verknüpfungstafel erhält: f ( a * b ) = f ( a ) × f ( b ) für alle a und b aus G .

isomorph : heißen Gruppen die durch einen Isomorphismus abgebildet werden können. Isomorphe Gruppen können als auf die Benennung ihrer Elemente identisch angesehen Eine Hauptaufgabe der Gruppentheorie ist die Klassifikation Gruppen "bis auf Isomorphismen".

Isomorphismus von Gruppen: bijektiver (umkehrbarer) Homomorphismus.

Kern eines Gruppen-Homomorphismus: die Teilmenge der Ausgangsgruppe auf das neutrale Element der Zielgruppe abgebildet Jeder Normalteiler ist Kern eines Gruppen-Isomorphismus und

Kleinsche Vierergruppe V : die kleinste nicht-zyklische Gruppe; hat die 4.

Lie-Gruppe : eine Gruppe die zugleich eine analytische oder komplexe Mannigfaltigkeit ist und deren Verknüpfung Umkehrfunktion) eine anlytische Funktion ist.

Links-Nebenklasse zu einem Gruppenelement g G und einer Untergruppe U von G : die Menge g * U also die Menge aller n G die sich als n = g * u mit u U schreiben lassen. Eine Links-Nebenklasse die zugleich ist ist Normalteiler .

Monstergruppe : die größte sporadische Gruppe.

Nebenklasse : siehe Rechts-Nebenklasse oder Links-Nebenklasse .

Normalteiler : heißt eine Untergruppe N von G wenn für alle n N und alle g G das "konjugierte" Element g -1 ng in N liegt. Ein Normalteiler ist zugleich Rechts- Links-Nebenklasse.

Nullelement : das neutrale Element in einer Gruppe mit additiv aufgefasster

Orbit eines Elements x einer Menge X unter der Wirkung einer Gruppe G : die Menge aller gx mit g G .

Ordnung einer endlichen Gruppe: die Anzahl ihrer

Ordnung eines Elements g einer Gruppe G : sofern existent die kleinste Zahl m N + für die g m = e . Die Ordnung einer endlichen Gruppe ist die Ordnung jeden Elements teilbar.

p-Gruppe : eine zyklische Gruppe über einer Primzahl p .

Permutationsgruppe : soviel wie symmetrische Gruppe - oder auch Untergruppe davon also alternierende Gruppe .

Punktgruppe : Symmetriegruppe eines Körpers insbesondere eines Moleküls in einem Kristall.

Quotientengruppe : siehe unter der üblicheren Bezeichnung Faktorgruppe .

Raumgruppe : Symmetriegruppe eines Kristalls.

Restklassengruppe : siehe unter der vielleicht üblicheren Bezeichnung Faktorgruppe .

spezielle lineare Gruppe SL( n F ) vom Grad n über einem Körper F : Menge aller invertierbaren n × n -Matrizen mit der Determinante 1; Untergruppe der linearen Gruppe.

spezielle orthogonale Gruppe SO( n F ) vom Grad n über einem Körper F : Menge aller ortogonalen n × n -Matrizen mit der Determinante 1; Untergruppe der linearen Gruppe und der orthogonalen Gruppe.

sporadisch : heißen die 26 endlichen einfachen Gruppen sich keiner der 18 Familien endlicher einfacher zuordnen lassen.

symmetrische Gruppe Sym n oder S n : besteht aus allen Permutationen einer Menge n Elementen Gruppenverknüpfung ist die Verkettung der

symplektische Gruppe Sp( n F ) vom Grad 2 n über einem Körper F : Gruppe der 2 n ×2 n symplektischen Matrizen.

treue Darstellung : nicht nur ein Homo- sondern ein einer Gruppe auf die allgemeine lineare Gruppe. Darstellungstheorie .

Untergruppe : heißt eine Teilmenge H einer Gruppe ( G *) wenn ( H *) auch eine Gruppe also bezüglich abgeschlossen ist.

zyklisch : heißt eine Gruppe G die von genau einem Element p erzeugt wird: alle Elemente von G sind Potenzen von p . Jede endliche Abelsche Gruppe ist das Produkt von zyklischen Gruppen über Primzahlen.



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