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Hamiltonoperator


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Der Hamiltonoperator (Symbol H ) beschreibt in der Quantenmechanik die Größe der Gesamt energie eines Systems. Der Zustand eines quantenmechanischen kann durch einen Vektor im abstrakten Hilbertraum charakterisiert werden. Die physikalisch beobachtbaren Größen als hermitesche Operatoren auf diesen Vektor.

Der Hamiltonoperator H entspricht der beobachtbaren Größe der Gesamtenergie Systems. Die Eigenvektoren von H als |a⟩ notiert liefern einen Satz linear unabhängiger Basisvektoren im Hilbertraum. Das Spektrum der erlaubten des Systems ist durch die Eigenwerte E a gegeben:

<math> H \left| a \right\rangle = E_a a \right\rangle</math>.

Hier ist H der hermitesche Operator. Der Betrag der ist immer eine reelle Zahl .

Je nach System kann das Energiespektrum oder kontinuierlich sein. In der Tat weisen häufig neben einem diskreten Energiespektrum auch ein höherliegendes Kontinuum auf. Ein Beispiel dafür ist endlicher Potentialtopf in dem gebundene Zustände mit negativen Energien und freie Zustände mit kontinuierlich positiven Energien auftreten.

Der Hamiltonoperator beschreibt auch die zeitliche eines Quantenzustandes. Wenn |ψ( t )⟩ der Zustand des Systems zur Zeit t ist dann

<math> H \left| \psi (t) \right\rangle = \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle</math>.

wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist. Diese Gleichung ist die bekannte Schrödingergleichung . Wenn der Zustand zum Anfangszeitpunkt ( t = 0) bekannt ist können wir Gleichung integrieren und so den Zustand jedes späteren Zeitpunkts erhalten. Wenn H selbst zeitunabhängig ist dann gilt:

<math> \left| \psi (t) \right\rangle = \hbox{exp}\left(-iHt \hbar\right) \left| \psi (0) \right\rangle</math>.

wobei der Exponentialoperator auf der rechten durch seine Reihendarstellung definiert wird.



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