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Harmonische Schwingung


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Eine harmonische Schwingung zeichnet sich dadurch aus dass die ihrer veränderlichen Zustandsgrößen sinusförmig ist. Zugleich ist ihre Schwingungsdauer T bzw. Frequenz f unabhängig von der Amplitude. Diese der Schwingung entsteht in einfachen linearen Systemen ohne Dämpfung.

Vertikale Schwingung an einer Feder

Ein Beispiel ist das Feder - Masse -Pendel . Ein Körper der Masse m ist einer Feder mit der Federkonstante D befestigt. Lenkt man den Körper das Stück y aus der Ruhelage aus wird die Feder gedehnt bzw. gestaucht und auf den Körper eine Kraft F aus die sich gemäß dem Hookeschen Gesetz zu

F = - D · y

berechnet also proportional zu y ist. Kraft wirkt beschleunigend auf den Körper wobei Newtons Kraftgesetz für die Beschleunigung a die Beziehung

a = F/m

gilt. Nun ist die Beschleunigung die Ableitung der Elongation nach der Zeit:

a = d 2 y(t)/dt 2 .

Durch Einsetzen ergibt sich hieraus für die Differentialgleichung

d 2 y(t)/dt 2 = - D/m · y(t)

die z.B. durch

y(t) = y 0 · sin(2πf · t)

gelöst wird. Darin ist y 0 die Amplitude und f = 1 / √(D/m) die Frequenz . Die Auslenkung y(t) wird auch als Elongation bezeichnet.

Oszillator und Reibung

Das schwingende Federpendel stellt einen Oszillator dar in dem fortwährend Energie zwischen den Formen elastische Energie (Dehnung oder Stauchung der Feder) und kinetische Energie (Bewegungsenergie der Masse) ausgetauscht wird.

Normalerweise ist die Schwingung nicht reibungsfrei durch Reibung wird dem System Energie entzogen; die Amplitude nimmt im der Zeit ab. In der Differentialgleichung tritt zur beschleunigenden Kraft F eine Reibungskraft F R hinzu:

d 2 y(t)/dt 2 = - D · y(t) + R .

Der genaue Ausdruck für F R hängt von der Art der Reibung Im Falle trockener Reibung (z.B. Gleitreibung ) ist F R konstant aber vom Vorzeichen der Elongation

F R = - k · sign(y(t)).

Im Falle dynamischer Reibung (z.B. innere Reibung bei elastischer ist F R proportional zur Geschwindigkeit also zur ersten zeitlichen Ableitung der

F R = - k · dy(t)/dt .

Die entsprechenden Lösungen der Differentialgleichung führen zu einer Schwingung mit linear bzw. exponentiell abnehmender Amplitude. Da die Amplitude sich der Zeit verändert handelt es sich nicht eine harmonische Schwingung im engeren Sinne bei die Amplitude konstant bleibt.

Pendelschwingung und Sekundenpendel

Bei einem idealen und reibungsfreien System bleibt die Amplitude der Schwingung konstant. Dies ist durch langes schweres Pendel nahezu realisierbar weshalb man schon früh Schwerkraft mit exakt gefertigten Pendeln gemessen hat. diese Gravimetrie und durch Gradmessung wurde im 18. Jahrhundert die Form der Erde bestimmt aus der das Meter definiert wurde.

Auch das Sekundenpendel leitet sich daraus ab das je Schwerkraft eine Länge von rund 1m hat. einer genauen Pendeluhr wird die Amplitude durch eine spezielle Mechanik (das Steigrad) konstant gehalten wodurch auch Schwingungsdauer stabil bleibt. Sie hängt mit der L und der Schwerkraft g über die Formel
<math>T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}</math> zusammen.

Einflüsse von außen kann man klein indem das Pendel im Vakuum schwingt und gegen Temperatureffekte kompensiert ist. Dadurch ließen sich schon 19. Jahrhundert Genauigkeiten besser als 0.1 Sekunde pro erreichen die erst um 1950 von Quarzuhren übertroffen wurden.




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