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Hierarchie mathematischer Strukturen


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Dieser Artikel gibt einen Überblick über Hierarchie mathematischer Strukturen .

Unter einer mathematischen Struktur wird hier eine Menge verstanden die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet Algebraische Strukturen sind mit einer oder mehreren Verknüpfungen ausgestattet. Topologische Räume erhalten ihre Struktur durch die Auszeichnung Teilmengen als offen . Viele wichtige Mengen zum Beispiel die Zahlkörper besitzen sowohl algebraische als auch topologische

Inhaltsverzeichnis

Algebraische Strukturen

Für eine diagrammatische Darstellung der besonders algebraischen Strukturen Halbgruppe Gruppe Ring Schiefkörper Körper Vektorraum siehe Algebraische Strukturen (bildliche Übersicht) .

Strukturen mit einer inneren Verknüpfung: Gruppen u.ä.

Die fundamentalen algebraischen Strukturen besitzen ein zwei zweistellige innere Verknüpfungen . Die Taxonomie dieser Strukturen richtet sich danach welche folgenden Gruppenaxiome in der Menge M bezüglich der Verknüpfung ◊ gelten:

(E) Existenz und Eindeutigkeit: Für alle a b aus M gilt: a b ist definiert und ist Element von M .
(A) : Assoziativgesetz: Für a b c aus M gilt: ( a b )◊ c = a ◊( b c ).
(N) Existenz eines neutralen Elements : M enthält ein e mit dem für alle a aus M gilt: a e = e a = a .
(I) Existenz des inversen Elements : Zu jedem a aus M gibt es ein a -1 aus M mit dem gilt: a a -1 = a -1 a = e .
(K) Kommutativgesetz : Für a b aus M gilt: a b = b a .

Die folgenden Strukturen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung verallgemeinern oder spezialisieren den fundamentalen Begriff Gruppe :

  • Gruppoid : Axiom E : Eine Menge mit zweistelliger innerer Verknüpfung.

  • Halbgruppe : Axiome EA : Ein Gruppoid mit Assoziativgesetz. Beispiel: ( N \{0} +).

  • Gruppe : Axiome EANI : Ein Monoid in dem es zu Element ein Inverses gibt. Gruppen wurden Anfang des 19. zur Beschreibung von Symmetrien eingeführt und haben sich als fundamental den gesamten Aufbau der Algebra erwiesen. Beispiele Zahlbereiche die eine Gruppe bilden: ( Z +) ( Q \{0} ·). Beispiele für Transformationsgruppen die Symmetrien die Punktgruppen zur Beschreibung von Molekülsymmetrien die symmetrischen Gruppen zur Beschreibung von Permutationen die Lie-Gruppen zur Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien. Siehe auch Gruppentheorie Gruppentheorie-Glossar .

Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen: Ringe Körper

Die folgenden Strukturen haben zwei innere Verknüpfungen die gewöhnlich als Addition Multiplikation geschrieben werden; diese Strukturen sind von Zahlbereichen (wie Z Q R ) abstrahiert mit denen man gewöhnlich rechnet. Verträglichkeit der additiven und der multiplikativen Verknüpfung durch folgende Axiome sichergestellt:

(I * ) Existenz des inversen Elements bezüglich der Verknüpfung mit Ausnahme des neutralen Elements der Verknüpfung. Formal: Zu jedem a aus M \{0} gibt es ein a -1 aus M mit dem gilt: a · a -1 = a -1 · a = e .
(Dl) Links- Distributivgesetz : Für a b c aus M gilt: a ·( b + c )= a · b + a · c .
(Dr) Rechts- Distributivgesetz : Für a b c aus M gilt: ( a + b c = a · c + b · c .
(D) Distributivgesetz : es gilt Dl und Dr .
(T) Nullteilerfreiheit : Wenn 0 das neutrale Element der Verknüpfung bezeichnet dann folgt für alle a b aus M aus a · b =0 dass a =0 oder b =0.
(U) Die neutralen Elemente bezüglich der Addition der Multiplikation 0 und 1 sind nicht

Die jeweils gültigen Axiome sind im in der Reihenfolge (additive Axiome | multiplikative | Verträglichkeitsaxiome) gekennzeichnet.

  • Ring : Axiome ( EANIK | EA | D ): Eine additive abelsche Gruppe eine multiplikative

  • Kommutativer Ring: Axiome ( EANIK | EAK | D ): Ring mit kommutativer Multiplikation.

  • Ring mit 1 oder unitärer Ring: Axiome EANIK | EAN | D ): Ring mit neutralem Element der Multiplikation.

  • Integritätsbereich : Axiome ( EANIK | EANK | DTU ): Kommutativer unitärer nullteilerfreier Ring mit 1≠0.

  • Schiefkörper : Axiome ( EANIK | EANI * | DTU ): Unitärer nullteilerfreier Ring mit 1≠0 und multiplikativem Inversen außer für das Element 0.

  • Körper : Axiome ( EANIK | EANI * K | DTU ): Kommutativer Schiefkörper Integritätsbereich mit multiplikativem Inversen für das Element 0. - Jeder Körper auch ein Vektorraum (mit sich selbst als zugrunde liegendem Wenn man in dem Körper eine Norm ein Skalarprodukt definiert erhält ein Körper dadurch topologischen Eigenschaften eines normierten Raums oder eines Siehe dazu unten. - Beispiele: die Zahlbereiche Q R und C .

Wichtige Teilmengen die aber nicht abgeschlossen der Gruppenverknüpfungen sind:

Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen: Verbände Mengenalgebren

Ein Verband ist eine algebraische Struktur dessen zwei Verknüpfungen im allgemeinen Fall nicht als Addition und Multiplikation aufgefasst werden

(Abs) Absorptionsgesetze: a ∨ ( a b ) = a und a ∨ ( a b ) = a .

Mit diesem Axiom erhalten wir als

  • Verband : Axiome ( EAK (bezüglich ∨)| EAK (bezüglich ∧)| Abs ).
  • Distributiver Verband : Axiome ( EAK (bezüglich ∨)| EAK (bezüglich ∧)| Abs D ).

In einem distributiven Verband muss man eines der beiden Absorptionsgesetze fordern; das andere dann aus dem Distributivgesetz.

Eine Boolsche Algebra ist ein Verband in dem die Verknüpfungen je ein neutrales Element haben a ∨0=0 und a ∧1=1 und in dem jedes Element ein beider Verknüpfungen übereinstimmendes Komplement hat

(Kompl) Existenz eines Komplements: zu jedem a gibt es ein ¬ a für das gilt a ∨¬ a =1 und a ∧¬ a =0.
Beachte das das Komplement nicht inverses Element ist da es das Element der jeweils anderen Verknüpfung liefert.

  • Boolsche Algebra : Axiome ( EAKN (bezüglich ∨)| EAKN (bezüglich ∧)| Abs D Kompl ).
  • Mengenalgebra : eine Boolsche Algebra deren Elemente Mengen nämlich Teilmengen einer Grundmenge X mit den Verknüpfungen ∪ und ∩ dem Nullelement ø und dem Einselement X .
  • σ-Algebra : eine bezüglich abzählbar-unendlich vielen Verknüpfungen abgeschlossene
  • Messraum und Maßraum sind spezielle σ-Algebren.
  • Borel-Algebra macht einen topologischen Raum zum Maßraum : sie ist die kleinste σ-Algebra die gegebene Topologie enthält.

  • Zweiwertige Boolesche Algebra : hat nur die Elemente 0 und

Strukturen mit innerer und äußerer Verknüpfung: Vektorräume

Diese Strukturen bestehen aus einem additiv Magma (zumeist einer abelschen Gruppe) V und einem Zahlbereich (einer Struktur mit inneren Verknüpfungen zumeist einem Körper) K dessen Gruppenaktion auf V als Linksmultiplikation *: K × V V oder als Rechtsmultiplikation *: V × K V geschrieben und (von V aus gesehen) als äußere Verknüpfung aufgefasst wird. Die Elemente von K heißen Skalare die äußere Verknüpfung dementsprechend auch Skalarmultiplikation . Sie genügt den folgenden Verträglichkeitsaxiomen (in für Linksmultiplikation):

(AL) Assoziativgesetz: für a b aus K und v aus V : ( a . b ) * v = a * ( b * v ).
(DL) Distributivgesetze: für a b aus K und v w aus V : a * ( v + w ) = a * v + a * w und ( a + b ) * v = a * v + b * v .

Damit erhalten wir folgende Strukturen in Notation ( V | K | Verträglichkeitsaxiome):

  • Linksmodul : (Abelsche Gruppe | Ring | AL DL ).
  • Rechtsmodul : (Abelsche Gruppe | Ring | AR DR ) mit Skalarmultiplikation von rechts statt von
  • Modul : (Abelsche Gruppe | kommutativer Ring | ALR DLR ) mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.
  • Vektorraum : (Abelsche Gruppe | Körper | ALR DLR ) mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.

Zusätzliche algebraische Struktur auf Vektorräumen

  • Lie-Algebra : Vektorraum mit der Lie-Klammer als zusätzlicher bilinearen Verknüpfung []: V × V  →  V .

  • assoziative Algebra : Vektorraum mit einer assoziativen bilinearen Verknüpfung V × V  →  V .

Die im folgenden eingeführten inneren Verknüpfungen Skalarprodukt und Norm verhelfen einem Vektorraum (das kann insbesondere ein als Vektorraum aufzufassender Körper sein) zu topologischen Struktur.

  • Ein Bilinearraum ist fast ein Innenproduktraum (siehe unten) - außer das innere Produkt nicht positiv definit sein Wichtiges Beispiel: der Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie.

  • unitärer Raum : ein Innenproduktraum über C dessen Skalarprodukt eine Hermitesche Form ist unter Vertauschung der Argumente die Symmetrie <math>\langle y \rangle = \overline{\langle y x \rangle}</math>

  • normierter Raum : Vektorraum mit einer Norm ||·||: V  →  K . Die Norm kann muss aber nicht ein Skalarprodukt gegeben sein. Jeder normierte Raum ist ein metrischer Raum und besitzt deshalb auch eine topologische

Ordnungsstruktur

Siehe dazu den Übersichtsartikel Ordnungsrelation .

  • Teilordnung (partielle Ordnung Halbordnung. Achtung: manchmal einfach Ordnung genannt): reflexiv antisymmetrisch und transitiv. Beispiele: Die Teilmengenrelation in einer Potenzmenge ; die Relation "komponentenweise kleinergleich" auf dem Vektorraum R n .

  • strenge Halbordnung : irreflexiv und transitiv. Beispiele: Die Relation "Echte in einer Potenzmenge ; die Relation "komponentenweise kleinergleich aber nicht auf dem Vektorraum R n .

  • totale Ordnung (lineare Ordnung): totale Halbordnung. Beispiel: "Kleinergleich" auf Z .

  • strenge Totalordnung: total irreflexiv und transitiv. Beispiel: auf Z .

  • fundierte Ordnung : eine Halbordnung bei der jede nichtleere ein minimales Element besitzt. Beispiel: Die Relation oder Element von" in einer Menge von

  • Wohlordnung : totale Ordnung bei der jede nichtleere ein minimales Element besitzt. Beispiel: "Kleinergleich" auf N .

Topologische Struktur

  • Metrische Räume werden durch ihre Metrik mit einer geometrischen Struktur ausgestattet die in Eigenschaften wie Kongruenz von Figuren zum Ausdruck kommt.

Die verschiedenen topologischen Räume sind aus dem Bemühen hervorgegangen von globalen Struktur abzusehen und lediglich die möglichen Struktur eines Raums zu klassifizieren.

Siehe dazu einstweilen die Artikel Topologie (Mathematik) topologischer Raum Topologie-Glossar Trennungsaxiom .

Geometrische Struktur

Klassifikation nach den gültigen Axiomen (vergleiche Artikel Geometrie Euklidische Geometrie Euklids Elemente ):

Klassifikation nach den Transformationsgruppen unter denen geometrische Eigenschaften invariant bleiben ( Felix Klein Erlangener Programm):

Zahlenbereiche

Dies sind die Mengen mit denen gewöhnlich rechnet. Grundlage ist die Menge der Zahlen. Als algebraische Verknüpfung dienen Addition und Indem man fordert dass auch die Umkehroperationen und Division stets möglich sein sollen erweitert die Menge der natürlichen Zahlen zur Menge ganzen Zahlen und zur Menge aller Brüche. reellen Zahlen werden als Grenzwerte von Zahlenfolgen sie ermöglichen das Wurzelziehen aus beliebigen positiven Die Wurzeln aus negativen Zahlen führen auf komplexen Zahlen.

  • Die Menge der natürlichen Zahlen N dient dem Abzählen und steht ganz Anfang des axiomatischen Aufbaus der Mathematik. Wir im folgenden die 0 als in N enthalten; die entgegengesetzte Konvention ist aber üblich. ( N +) und ( N ·) sind Monoide mit den neutralen Elementen 0 bzw. Addition und Multiplikation sind wie auch bei anderen Zahlbereichen distributiv .

  • Die Menge der nichtnegativen Brüche Q + entsteht aus N indem man Bruchzahlen als Inverse bezüglich der Multiplikation konstruiert. ( Q + \{0} ·) ist daher eine Gruppe ; ( Q + +) ist eine Monoid .

  • Die Menge der Brüche oder rationalen Zahlen Q entsteht aus Q + durch Hinzunahme der Inversen bezüglich der oder aus Z durch Hinzunahme der Inversen bezüglich der ( Q +) und ( Q \{0} ·) sind abelsche Gruppen . Addition und Multiplikation sind distributiv ; Q ist ein Körper .

  • Die Menge der komplexen Zahlen C besteht aus Paaren reeller Zahlen ( a b ) die in der Schreibweise a + bi mit i 2 =-1 den üblichen Rechengesetzen genügen. In C ist jede algebraische Gleichung auflösbar. C ist ein Körper .

  • Quaternionen Cayley-Zahlen und darüber hinaus erweiterte Zahlbereiche sind mehr kommutativ bezüglich der Multiplikation.

Wichtig sind ferner einige eingeschränkte Zahlbereiche:

  • Der Restklassenring Z m kann als Einschränkung der natürlichen Zahlen die Menge {0 1 ... m -1} aufgefasst werden. Alle Rechenoperationen werden modulo m ausgeführt. Z m ist ein Ring ; wenn m eine Primzahl ist sogar ein Körper . In maschinennahen Programmiersprachen werden vorzeichenlose ganze als Restklassenringe z.B. mit m =2 16 oder 2 32 dargestellt.




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