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Homöomorphismus


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Ein Homöomorphismus (nicht zu verwechseln mit Homomorphismus und Homotopie ) ist eine stetige Abbildung zwischen zwei Objekten.

Zwei Objekte heißen homöomorph wenn sie durch einen Homöomorphismus ineinander werden können; sie liegen in der gleichen Homöomorphieklasse .

Anschaulich kann man sich einen Homöomorphismus Dehnen Stauchen Verbiegen Verzerren Verdrillen eines Gegenstands Zerschneiden ist nur erlaubt wenn man die später genau an der Schnittfläche wieder zusammenfügt.

Topologie handelt von Eigenschaften die unter Homöomorphismen sind. Für eine formale Definition des Begriffs baut man deshalb auf das Axiomensystem der auf und nimmt an X und Y seien topologische Räume . Eine Funktion f : X Y ist dann und nur dann ein wenn alle folgenden Bedingungen gelten:

  1. f ist bijektiv
  2. f ist stetig und
  3. die Umkehrfunktion f - 1 ist ebenfalls stetig.

Stetigkeit ist ein genau topologischer Begriff unmittelbar an das Axiomensystem des topologischen Raums die Funktion f heißt genau dann stetig wenn für offene Menge V aus Y das Urbild f - 1 ( V ) eine offene Menge in X ist.

Beispiele

Jeder Kreis (mit Radius > 0) homöomorph zu jedem Quadrat (mit Seitenlänge > in der euklidischen Ebene R 2 .

Das offene Intervall (0 1) ist zum Raum R aller reellen Zahlen.

Der Produktraum S 1 × S 1 des Einheitskreises S 1 = { x in R 2 : | x | = 1} mit sich selbst ist zum zweidimensionalen Torus (einem Fahrradschlauch).

Die dritte Bedingung dass die Umkehrfunktion f -1 stetig ist ist unerlässlich. Betrachte zum die Funktion f : [0 2π) -> S 1 f ( x ) = (cos( x ) sin( x )). Diese Funktion ist stetig und bijektiv kein Homöomorphismus. Die Umkehrfunktion f -1 bildet Punkte nahe bei (1 0) auf weit voneinander entfernte Zahlen in der von 0 und 2π anschaulich würde der an der Stelle (1 0) "zerrissen" und flach abgerollt zum Intervall.

Eigenschaften

Wenn zwei topologische Räume homöomorph sind haben sie exakt dieselben topologischen Eigenschaften. Zum Ist der eine kompakt dann auch der andere ist der zusammenhängend dann auch der andere ist der hausdorffsch dann auch der andere.

Dies gilt aber nicht für Eigenschaften über eine Metrik definiert sind; es gibt Paare metrischer die homöomorph sind obwohl einer der beiden vollständig ist und der andere nicht.

Siehe auch: Bettische Zahlen



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