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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMontag, 14. Oktober 2019 

Homomorphiesatz


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Der Homomorphiesatz macht eine Aussage über die Auswirkung Homomorphismus auf algebraische Strukturen wie Gruppen Vektorräume Module und Ringe . Er ist ein fundamentales Resultat der universellen Algebra .

Die minimale algebraische Struktur für die einen Homomorphiesatz gibt ist die Gruppe .

Wir betrachten einen Gruppen-Homomorphismus f von einer Gruppe G in eine andere Gruppe H . Der Homomorphismus hat einen Kern ker( f ) der ein Normalteiler von G ist. Der größeren Allgemeinheit halber legen unserem Satz nicht ker( f ) selbst zugrunde sondern einen Normalteiler K von G der statt mit ker( f ) überzueinstimmen auch eine Teilmenge sein darf: K ⊆ker( f ).

Der Normalteiler K induziert die Faktorgruppe G / K also die Menge der Nebenklassen aK mit a G . Die kanonische Projektion φ: G G / K ist ein surjektiver Gruppen-Homomorphismus der jedem Element a G die zugehörige Nebenklasse aK zuordnet.

Unter diesen Voraussetzungen besagt der Homomorphiesatz: existiert eindeutig ein Gruppen-Homomorphismus h : G / K H mit f = h φ.

Der Zusammenhang wird durch das folgende Diagramm veranschaulicht:

Erläuterung: Warum ist diese Aussage nicht völlig ? Ergibt sich aus der Festlegung f = h φ nicht unmittelbar die Existenz und von h ? Nein denn φ ist nicht und damit nicht umkehrbar. Wir können h deshalb nicht einfach als f φ -1 bestimmen.

Beweis: (1) Jedes Element von G / K können wir aK schreiben mit a &isin G . Dann gilt: h ( aK ) = h (φ( a )) = f ( a ). Also ordnet h jedem Urbild ein Abbild zu.

(2) Wir erklären h durch die Gleichung h ( aK ) = f ( a ) und untersuchen wie h auf eine alternative Darstellung des Urbildes bK = aK . Es gilt b -1 a K ⊆ker( f ) somit f ( b -1 a )=1 (neutrales Element von H ). Weil f ein Gruppen-Homomorphismus ist folgt f ( a )= f ( b ). Also ordnet h jedem Urbild unabhängig von dessen Darstellung ein eindeutiges Abbild zu.

Damit ist die Existenz und Eindeutigkeit von h gezeigt. Zu zeigen dass h ein Gruppen-Homomorphismus ist ist unschwierig und weiter lehrreich.
  
Wenn K =ker( f ) dann ist h sogar injektiv und bildet einen Isomorphismus zwischen G / K und dem Bild f ( G ).

Aus dem Homomorphiesatz folgen die drei Isomorphiesätze .

Siehe auch: Gruppentheorie-Glossar .



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