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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMontag, 23. September 2019 

Homomorphismus


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Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen Strukturen durch die Teile der einen Struktur "bedeutungsgleiche" Teile der anderen Struktur eindeutig abgebildet werden. Die umgekehrte Richtung gilt nicht unbedingt.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine mathematische Definition

(Hinweis: Man kann Homomorphismus noch viel definieren siehe Morphismus . Für die gewöhnlichen Anwendungen Vektorraum Gruppen Ringe Körper usw. sind aber vielleicht folgende speziellen eher ersichtlich.)

Voraussetzung

Seien A und B zwei Strukturen Gruppen Vektorräume Ringe Körper usw.

Im folgenden bezeichne (A f g ... a b c ...) eine Struktur dass A die Trägermenge ist f g Verknüpfungen (z.B. "*" oder "+") und a c die jeweils neutralen Elemente dieser Verknüpfungen.

z.B. ist (Z + 0) (die der ganzen Zahlen mit der Verknüpfung + und dem Element 0) eine Gruppe (R * + 0) (die Menge der reellen Zahlen mit * und + wie in Schulmathematik) ein Körper. Dann gilt folgendes:

Gruppenhomorphismus

Eine Abbildung f: A -> B Gruppenhomorphismus zwischen (A * 1) und (B 1) wenn für alle a b ∈ gilt:
f(a * b) = f(a) *

Damit folgt trivialerweise auch direkt:

  • f(1) = 1 denn es gilt: = f(1*1) = f(1)*f(1) also f(1) = sowie
  • <math> \forall a \in A : = f(a)^{-1}</math> denn es gilt <math>f(a)f(a^{-1}) = \cdot a^{-1}) = f(1) = 1 = = f(a^{-1}) f(a)</math> und damit aus der des inversen Elementes die Behauptung.

Kern(f) := {a ∈ A : = 1}
(Der Kern eines Gruppenhom. ist ein Normalteiler von A).

Ringhomomorphismus

Eine Abbildung f: A -> B Ringhomomorphismus zwischen (A * + 1 0) (B * + 1 0) wenn für a b ∈ A gilt:
f ist Gruppenhomorphismus bzgl. "+" und
f(a * b) = f(a) *

Analog zu oben gelten dann auch direkten Folgerungen f(1) = 1 und <math>f(a^{-1}) f(a)^{-1}</math>.

Kern(f) := {a ∈ A : = 0}
(Der Kern eines Ringhom. ist ein Ideal von A.)

Hinweis: f ist injektiv genau dann wenn der Kern trivial (d.h. nur das neutrale Element aus A

Beweis :

Sei f injektiv und f(h) = Da f Hom ist ist f(0) = = f(h) und damit h = 0 f injektiv. Also ist Kern(f) = {0}. sei Kern(f) = {0}. Betrachte h und mit f(h) = f(h'). Dann ist 0 f(h) - f(h') = f(h - h') h - h' ∈ Kern(f) = {0}. ist h - h' = 0 also = h' und damit f injektiv.

Da ein Körper K nur K {0} als einzige Ideale hat ist damit Körperhomorphimus insbesondere immer injektiv!

Weitere Begriffe

Noch einige Begriffe:
Ein Homomorphismus f heißt:


  • Endomorphismus auf A wenn f A in selbst abbildet.

  • Automorphismus auf A wenn f: A -> Isomorphismus ist.



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