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Hookesches Gesetz


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Im Falle der linearen elastischen Deformation gilt das hookesche Gesetz . Dieses besagt dass die Deformation <math>\tilde\varepsilon</math> eines Körpers proportional zur anliegenden Spannung <math>\tilde\sigma</math> ist. Im allgemeinen Fall wird hookesche Gesetz ausgedrückt durch die lineare Tensorgleichung
<math>\tilde\sigma=\tilde{\tilde C}\tilde\varepsilon</math>
mit dem Elastizitätstensor <math>\tilde{\tilde C}</math> der elastischen Eigenschaften der deformierten Materie kennzeichnet.

Das hookesche Gesetz gilt nur für lineare elastische Deformationen . Diese Bedingung ist in der Regel kleine Deformationen erfüllt. Bei Deformationen oberhalb der genannten Proportionalitätsgrenze werden die Verformungen nicht-linear d.h. Verzerrung <math>\tilde\varepsilon</math> ist nicht mehr proportional zur <math>\tilde\sigma</math> die Verformung kann aber dennoch reversibel Erst für noch größere Deformationen wird die irreversibel ( plastische Deformation ) und es findet keine vollständige Rückformung Nachlassen der Spannung statt.

Verallgemeinertes Hookesches Gesetz

Die allgemeine Form des hookeschen Gesetzes lineare Tensorgleichung mit dem Elastizitätstensor (4. Stufe!) C}</math> mit 81 Komponenten <math>C_{ijkl} \;i j l=1\ldots3</math> ist schwierig zu handhaben. Aufgrund der von Verzerrungs- und Spannungtensor reduziert sich die Zahl unabhängigen Komponenten jedoch auf 36. Damit lässt das hookesche Gesetz in eine einfacher zu Matrixgleichung überführen wobei die Elastischen Konstanten in <math>6\times6</math>-Matrix sowie die Verzerrung und die Verspannung sechskomponentige Vektoren dargestellt werden ( voigtsche Notation ):

<math>\begin{pmatrix}
 \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6}  
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 C_{11} & C_{12} & C_{13} & & C_{15} & C_{16} \\ C_{21} & & C_{23} & C_{24} & C_{25} & \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & & C_{35} & C_{36} \\ C_{41} & & C_{43} & C_{44} & C_{45} & \\ C_{51} & C_{52} & C_{53} & & C_{55} & C_{56} \\ C_{61} & & C_{63} & C_{64} & C_{65} &  
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
 \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \varepsilon_{3} \\ \\ \varepsilon_{5} \\ \varepsilon_{6}  
\end{pmatrix}.</math> Aus energetischen Überlegungen ergibt sich auch diese <math>6\times6</math>-Matrix symmetrisch ist. Die Anzahl unabhängigen <math>C_{ij} \;i j=1\ldots3</math> ( elastische Konstanten ) reduziert sich damit weiter auf maximal

Die maximal sechs unabhängigen der beiden Tensoren für Dehnung und Spannung werden häufig der folgenden Weise auf zwei sechskomponentige Vektoren

<math>
\begin{matrix} &\epsilon_{xx}:=\varepsilon_x\ \; \epsilon_{yy}:=\varepsilon_y\ \; \epsilon_{zz}:=\varepsilon_z\ \epsilon_{xy}=\epsilon_{yx}:=\sqrt{2}\gamma_{xy}\ \\ &\epsilon_{yz}=\epsilon_{zy}:=\sqrt{2}\gamma_{xz}\ \; \epsilon_{zx}=\epsilon_{xz}:=\sqrt{2}\gamma_{yz}\ \end{matrix} </math>
<math>\mathbf\varepsilon^T=\left(\varepsilon_x\ \;\varepsilon_y\ \; \varepsilon_z\ \;\sqrt{2}\gamma_{xy}\ \;\sqrt{2}\gamma_{xz}\ \;
\sqrt{2}\gamma_{yz}\right)\ </math> und analog
<math>\mathbf\sigma^T=\left(\sigma_x\ \;\sigma_y\ \;\sigma_z\ \;
\sqrt{2}\tau_{xy}\ \;\sqrt{2}\tau_{xz}\ \;\sqrt{2}\tau_{yz}\right)\ .</math>

Der Faktor <math>\sqrt{2}</math> ist notwendig um zwischen der hier eingeführten Matrix/Vektor-Darstellung Tensorgleichung und Tensorgleichung <math>\tilde\sigma=\tilde{\tilde C}\tilde\varepsilon</math> herzustellen. (Statt <math>\sqrt{2}</math> bei Vektordarstellungn von sowohl Verzerrung als auch Verspannung auch der Faktor 2 bei nur einem beiden Vektoren verwendet werden.)

Isotrope Medien

Im Spezialfall isotroper Medien reduziert sich Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten von 21 2. Wesentliche Eigenschaften der Deformation lassen sich durch die Querkontraktionszahl charakterisieren. Das hookesche Gesetz läßt sich darstellen in der Form

<math>\bar\varepsilon = L^{-1} \bar\sigma</math> mit
<math>L^{-1} = \frac{1}{E}
 \begin{bmatrix} 1 &-\nu &-\nu &0 &0 \\ \cdot &1 &-\nu &0 &0 &0 \cdot &\cdot & 1 &0 &0 &0 \cdot &\cdot &\cdot &1+\nu &0 &0 \\ &\cdot &\cdot &\cdot &1+\nu &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1+\nu \end{bmatrix}</math> bzw.  
<math>L = \frac{E}{1+\nu}
\begin{bmatrix} \frac{1-\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\frac{1-\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\cdot \cdot &\cdot &\cdot &1&0&0\\ \cdot &\cdot &\cdot \cdot &\cdot &\cdot &0&0&1 \end{bmatrix}</math> wobei E das Elastizitätsmodul (auch Youngsmodul) und <math>\nu</math> die Querkontraktionszahl sind. Beide sind vom Werkstoff bestimmt. eindimensionale Deformationen vereinfacht sich die Beziehung zu
<math>\varepsilon=\frac{1}{E}\sigma</math>.

Vereinfachtes Hookesches Gesetz

Das hookesche Gesetz gilt für einen Dehnungsbereich bei Zug- und Druckfedern. In diesem einer eindimensionalen linearen elastischen Deformation vereinfacht sich Elastizitätsmodul <math>E</math> zur Federkonstante <math>D</math> die Verzerrung <math>\tilde\varepsilon</math> des Körpers seiner relativen Längenänderung <math>\Delta l\ /\ l</math> statt der mechanischen Spannung <math>\tilde \sigma</math> (Kraft Angriffsfläche) kann direkt die angelegte Kraft <math>F</math> werden. Das hookesche Gesetz kann dann in einfachen Form

<math>\Delta l=\frac{1}{D} F</math>
als eine lineare Relation zwischen der angelegten Kraft <math>F</math> und der daraus resultierenden <math>\Delta l</math> dargestellt werden. Bei Berechnung der rücktreibenden Kraft kehrt sich das Vorzeichen um l</math>).



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