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Hyperbelfunktionen


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Die vier Hyperbelfunktionen sind: Sie sind für alle komplexe Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph .

Inhaltsverzeichnis

Definition über die Exponentialfunktion :

sinh (z) := ( exp ( z ) - exp ( - z ) ) ( 2 )
cosh (z) := ( exp ( z ) + exp ( - z ) ) ( 2 )
i steht dabei für die komplexe Zahl aus minus 1".

Definition über Reihenentwicklung :

sinh (z) := z 1 /1! + z 3 /3! + z 5 /5! + z 7 /7! + ...
cosh (z) := z 0 /0! + z 2 /2! + z 4 /4! + z 6 /6! + ...
  • Der Ausdruck n! steht für die Fakultät von n
    n! := 1 * 2 * * n.
  • Das Reihenglied z 1 /1! ist identisch mit der Zahl z.
  • Das Reihenglied z 0 /0! ist identisch mit der Zahl 1.

Wertebereich der reellen Hyperbelfunktionen:

Für alle reelle Zahlen r sind auch sinh ( r und cosh ( r ) reell.
Die reelle Funktion sinh ist monoton und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.
Die reelle Funktion cosh ist für < 0 streng monoton fallend
für Werte > 0 streng monoton

Wertebereich der komplexen Hyperbelfunktionen:

sinh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen definiert:
A := { z | - < Imaginärteil von z < + π/2
B := { z | Realteil z ungleich 0 oder Imaginärteil von z ±1 }
Dann bildet die komplexe Funktion sinh "Streifen" A bijektiv auf B ab.

cosh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen definiert:
A := { z | 0 Imaginärteil von z < + π }
B := { z | Imaginärteil z ungleich 0 oder Realteil von z ±1 }
Dann bildet die komplexe Funktion cosh "Streifen" A bijektiv auf B ab.

Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen:

Für alle komplexen Zahlen z gilt:
  • sinh ( z ) = - sinh - z ) d.h. sinh ist eine Funktion.
  • cosh ( z ) = cosh ( z ) d.h. cosh ist eine gerade
  • sinh ( z ) = sinh ( + 2 * i * π ) cosh ( z ) = cosh ( + 2 * i * π )
    d.h. beide Funktionen sind periodisch mit Minimalperiode 2 * i * π.
  • cosh ( z ) 2 - sinh ( z ) 2 = 1.
Für alle komplexen Zahlen z1 und gilt:
  • sinh ( z1 + z2 ) sinh ( z1 ) * cosh ( ) + sinh ( z2 ) * ( z1 )
  • sinh ( z1 - z2 ) sinh ( z1 ) * cosh ( ) - sinh ( z2 ) * ( z1 )
  • cosh ( z1 + z2 ) cosh ( z1 ) * cosh ( ) + sinh ( z1 ) * ( z2 )
  • cosh ( z1 - z2 ) cosh ( z1 ) * cosh ( ) - sinh ( z1 ) * ( z2 )

Alternative Namen:

  • Für die Hyperbelfunktionen ist auch der hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
  • Für sinh sind auch die Namen hsin Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
  • Für cosh sind auch die Namen hcos Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich.

Abgeleitete Funktionen:

  • tanh := sinh / cosh
  • csch := 1 / sinh
  • sech := 1 / cosh
  • coth := 1 / tanh = / sinh

Siehe auch: Zusammenhang mit den Kreisfunktionen



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