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Infinitesimalzahl


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In der Mathematik ist eine Infinitesimalzahl eine Zahl deren absoluter Betrag größer ist als Null aber kleiner als jede noch so positive reelle Zahl .

Eine Zahl x ungleich 0 ist genau dann eine wenn jede beliebigen Summe von endlich vielen des Betrages dieser Zahl kleiner als 1

| x | + ... + | x | < 1 für jede endliche Anzahl Summanden.
In diesem Fall ist |1/ x | größer als jede beliebige positive reelle

Eine Infinitesimalzahl ist nur eine begriffliche Es existiert keine reelle Infinitesimalzahl. Das kann folgendermaßen zeigen:

Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der Zahlen hat eine obere Grenze (die kleinste Schranke das Supremum ). Wenn es reelle Infinitesimalzahlen gibt dann sie eine nichtleere nach oben durch 1 Teilmenge der reellen Zahlen. Untersuchen wir ob obere Grenze c aller Infinitesimalzahlen eine Infinitesimalzahl ist oder Wenn ja dann ist auch 2 c eine Infinitesimalzahl das widerspricht aber dem dass c eine obere Schranke der Infinitesimalzahlen ist. nicht dann ist auch c /2 keine Infinitesimalzahl was dem Fakt widerspricht unter allen oberen Schranken der Infinitesimalzahlen c die kleinste ist. Es ergibt sich ein Widerspruch aus dem folgt dass es reellen Infinitesimalzahlen gibt.

Der erste Mathematiker der solche Zahlen war wohl Archimedes obwohl er nicht an Existenz glaubte.

Newton und Leibniz nutzen die Infinitesimalzahlen um ihr Kalkül Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) zu entwickeln.

Typischerweise argumentierten sie so:

Um die Ableitung f' ( x ) der Funktion f ( x ) = x ² nehmen wir an dx sei infinitesimal. Dann ist

<math>f'(x) = (f(x+dx)-f(x))/dx = (x^2+2x\cdot dx+dx^2-x^2)/dx = = 2x </math>
weil dx infinitesimal klein ist.

Obwohl dieses Argument intuitiv einleuchtet und Ergebnisse liefert ist es mathematisch nicht exakt: grundlegende Problem ist dass dx zunächst als Null betrachtet wird (wir teilen durch dx) später wird es betrachtet als sei es Die Nutzung von Infinitesimalzahlten wurde von Bischof kritisiert in seinem Werk: The analyst: or a discourse addressed to infidel mathematician .

Erst im neunzehnten Jahrhundert wurde durch Karl Weierstrass und andere dem Differentialkalkül eine mathematisch formale Form gegeben. Sie führten Grenzwertbetrachtungen ein die die Nutzung infinitesimaler Größen machten.

Trotzdem wurde die Nutzung der Infinitesimalzahlen als nützlich für die Vereinfachung von Darstellungen Berechnungen betrachtet.

In der Nichtstandardanalysis von Abraham Robinson sind Infinitesimalzahlen legitime In dieser Analysis kann die oben erwähnte von f ( x ) = x ² durch eine geringfügige Modifikation gerechtfertigt werden: sprechen über den Standardteil des Differentialquotienten und der Standardteil von x + dx ist x .

Außerdem kann eine "synthetische Differentialgeometrie " aufgestellt werden.

Es gibt Zahlbereichserweiterungen der reellen Zahlen infinitesimale Zahlen enthalten. Die bekanntesten sind die hyperreellen Zahlen und die surrealen Zahlen .

Siehe auch:



Bücher zum Thema Infinitesimalzahl

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