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Integralrechnung


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Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin Analysis. Sie beschäftigt sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter einem Funktionsgraphen . Die Integraion ist quasi die Umkehrung Differentiation.

Mit der Operation Integration ordnet man einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich ihr Integral zu. Das Integral wird elementar als Fläche unter dem Graphen der Funktion gedeutet. nachdem ob der Integrationsbereich endlich oder unendlich heißt das Integral bestimmt oder uneigentlich .

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auch Fundamentalsatz der Analysis genannt besagt dass Integrale aus Stammfunktionen berechnet werden können. Die Stammfunktion einer wird auch deren unbestimmtes Integral genannt.

Integration ist die inverse Operation zur Differentiation sie bestimmt die als die Inverse der Ableitung . Im Gegensatz zur Differentiation existiert für Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und alle Fälle abdeckender Algorithmus . Integration erfordert trainiertes Raten Benutzung spezieller ( Integration durch Substitution partielle Integration ) oder/und Nachschlagen in einer Tabelle . Oft erfolgt Integration auch numerisch als Quadratur . In der Technik benützt man zur bzw. Flächenbestimmung sogenannte Planimeter bei welchen die Summierung der Flächenelemente erfolgt. Der Zahlenwert der so bestimmten Fläche an einem Zählwerk abgelesen werden welches zur der Ablesegenauigkeit mit einem Nonius versehen ist.

Inhaltsverzeichnis

Bestimmtes Integral

Die Integralrechnung entstand aus dem Problem die zwischen dem Graphen einer reellwertigen Funktion f (x) und der x-Achse im Intervall von a bis b zu berechnen. Falls die Fläche sinnvoll werden kann nennt man die Funktion im integrierbar. Die reelle Zahl A die die Größe der Fläche angibt dann das bestimmte Integral von f (x) über dem Intervall:
<math>A = \int_a^bf(x)\ \mathrm{d}x</math>

Der Flächeninhalt ist "orientiert" d.h. falls Graph der Funktion unterhalb der x-Achse liegt der Wert des bestimmten Integrals negativ. Das wechselt ebenfalls das Vorzeichen wenn die untere obere Integrationsgrenze vertauscht werden. Wenn eine Nullstelle zu untersuchenden Intervall vorliegt gibt das Integral mehr den Flächeninhalt an sondern stellt nur eine Rechenregel dar. Benötigt man in einem Intervall die Fläche zwischen x-Achse und Graph Funktion so muss das Integral aufgeteilt werden.

Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals die Approximation der zu integrierenden Funktion durch Treppenfunktion . Die Fläche wird durch die Summe einzelnen Rechtecke unter den einzelnen "Treppenstufen" angenähert. Diese dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann bezeichnete "Riemann-Summe" konvergiert gegen das bestimmte wenn die Breite der Rechtecke gegen Null Dieser Grenzwert kann nicht für alle Funktionen oder explizit berechnet werden.

Notation

Die symbolische Schreibweise von Integralen geht den Miterfinder der Differential- und Integralrechnung Gottfried Wilhelm Leibniz zurück. Das Integralzeichen ist aus dem S für lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation f ( x ) d x deutet an wie sich das Integral Streifen der Höhe f ( x ) und der infinitesimalen Breite d x zusammensetzt. Dieses d x wird Differential genannt. Es kommt auch in der Ableitungsnotation d f /d x vor und wird in der Theorie Differentialformen verallgemeinert.

Die Genialität dieser Notation zeigt sich Beispiel darin dass das multiplikativ zu lesende x stets garantiert dass Integrale in der dimensionsrichtig angesetzt werden. Zum Beispiel lautet die der Energie E als Kraft F mal Weg s für wegabhängige Kräfte F ( s ):

<math>E=\int F(s)\ \mathrm{d}s</math>
Wenn man weiß dass s in m und F in N gemessen wird kann man ablesen dass E die Einheit Nm hat.

Überdies ist d x eine mnemotechnische Hilfe bei der Integration durch Substitution .

In der Elementarmathematik werden Integralzeichen und meistens wie eine Klammer um die Integrandfunktion In anspruchsvollerem Kontext hat es Vorteile das vor den Integranden zu schreiben: mehrdimensionale Integrale so leichter lesbar und man hebt hervor das Integral ein linearer Operator ist. Jedenfalls gilt:

<math>\int f(x)\ \mathrm{d}x = \int \mathrm{d}x\ f(x)</math>

Verallgemeinerung: mehrdimensionale Integrale

Den Integralbegriff kann man recht einfach den Fall verallgemeinern dass die Trägermenge auf die Integrandfunktion f operiert nicht die Zahlengerade R sondern der n -dimensionale Euklidische Raum R n ist. Mehrdimensionale Integrale über ein Volumen V darf man nach dem Satz von berechnen indem man sie in beliebiger Reihenfolge Integrale über die einzelnen Koordinaten aufspaltet die abzuarbeiten sind:

<math>\int_V \mathrm{d}^n r\ f(\vec{r}) = \int \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\ y z) = \int \mathrm{d}x (\int \mathrm{d}y \mathrm{d}z\ f(x y z)))</math>
Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in x y und z muss man aus der Begrenzung des V ermitteln. In der Funktionalanalysis und theoretischen Physik lässt man mehrdimensionale am liebsten über den gesamten unendlichen n -dimensionalen Raum laufen; die Konvergenz der Integrale man indem man in den Integranden eine aufnimmt die zum Beispiel außerhalb eines vorgegebenen V überall 0 ist.

Verallgemeinerung: Integration in der komplexen Ebene

In der Funktionentheorie also der Erweiterung der Analysis auf einer komplexen Veränderlichen genügt es nicht mehr untere obere Integrationsgrenzen anzugeben: denn zwei Punkte der Ebene können anders als zwei Punkte auf Zahlengeraden durch beliebige Pfade miteinander verbunden werden. ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie ein Pfadintegral . Für geschlossene Pfade gilt der Residuensatz das wahrscheinlich erstaunlichste Resultat von Cauchy : das Integral entlang einem geschlossenen Pfad allein von den umschlossenen Singularitäten ab.

Verallgemeinerung: Integration nichtstetiger Funktionen

Bei nichtstetigen Integrandfunktionen erweist sich das als untauglich. Erweiterte Integralbegriffe (die für stetige das Riemann-Integral reproduzieren) wurden von Henri Leon Lebesgue Stieltjes und Alfred Haar eingeführt.

Uneigentliches Integral

Ein Sonderfall des bestimmten Integrals ist uneigentliche Integral bei dem die Fläche nicht beiden Seiten begrenzt ist. Gesucht ist also:

<math>A = \int_a^\infty f(x)\ \mathrm{d}x</math>
oder
<math>A = \int_{-\infty}^b f(x)\ \mathrm{d}x</math>

Obwohl die eingeschlossene Fläche durch keine Linie begrenzt ist kann der Flächeninhalt bei Funktionen durchaus endlich sein. Beispiele hierfür sind Gaußsche Glockenkurve und die Funktion 1/ x ².

Für manche Funktionen (wie z.B. die Gaußkurve) ist auch das beidseitig uneigentliche Integral

<math>A = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ \mathrm{d}x</math>

Andere uneigentliche Integrale entstehen wenn die im Integrationsbereich divergiert .

Unbestimmtes Integral

Es stellt sich heraus dass die sehr eng mit der Differentialrechnung zusammenhängt.

Eine Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) ist jede deren Ableitung f(x) ergibt. Da beim Differenzieren additive Konstanten wegfallen gilt: Ist F(x) ein Stammfunktion f(x) so ist es auch F(x) + mit beliebigem C aus den reellen Zahlen . Außer F(x) + C gibt es weiteren Stammfunktionen zu f(x) d.h. zwei Stammfunktionen sich nur um eine additive Konstante.

Das unbestimmte Integral einer Funktion f(x) ist nun die aller Stammfunktionen von f(x):

<math>\int f(x)\ \mathrm{d}x = F(x) + C</math>

Zusammenhang - Hauptsatz der Differential- und

Jede Funktion A(x) die den Flächeninhalt der Kurve von einer festen Untergrenze a bis zur variablen Obergrenze x angibt also

<math>A(x) = \int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t</math>
entspricht einer bestimmten Stammfunktion von f(x).

Daraus ergibt sich dass man jedes Integral als eine Differenz zweier Stammfunktionen der zu integrierenden Funktion kann da die additiven Konstanten bei der wegfallen ( Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ):

<math>\int_a^bf(x)\ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>

Anschaulich kann man das so verstehen:

Das Integral liefert die Fläche unter Funktionskurve. Die Ableitung des Integrals nach der Grenze sagt also wie stark sich die ändert wenn die rechte Integrationsgrenze verschoben wird zur Größe der Verschiebung dieser Grenze.

Wenn man nun aber die obere um einen sehr kleinen Betrag verschiebt dann sich die Fläche um ein kleines Rechteck Breite die Verschiebung der Grenze und dessen der Funktionswert an dieser Stelle ist. Dessen ist natürlich das Produkt der beiden Längen Division durch die Verschiebung (= die Breite Rechtecks) ergibt dann gerade wieder den Funktionswert. also die Ableitung der Integralfunktion wieder die Funktion ergibt ist die Integralfunktion per Definitionem Stammfunktion derselben.

Eigenschaften des Integrals

In der formalen Sprache der Mathematik das Integral ein lineares Funktional über dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen. Linearität besagt dass das Integral der Summe Funktionen f(x) und g(x) genau der Summe der Integrale der ist:

<math>\int\left(f(x) + g(x)\right) \ \mathrm{d}x = \int \ \mathrm{d}x + \int g(x) \ \mathrm{d}x</math>

und dass das Integral des Vielfachen Funktion (Multiplikation mit einer Konstanten) das entsprechende des Integrals ist:

<math>\int c\cdot f(x)\ \mathrm{d}x = c \cdot f(x)\ \mathrm{d}x</math>

Eine wichtige Eigenschaft des bestimmten Integrals darin dass sich beim Vertauschen der Integrationsgrenzen Vorzeichen ändert:

<math>\int_a^bf(x)\ \mathrm{d}x = - \int_b^af(x)\ \mathrm{d}x</math>

Die Umformung

<math>\int_a^bf(x)\ \mathrm{d}x + \int_b^af(x)\ \mathrm{d}x = 0</math>
die man als ein geschlossenes Pfadintegral auffassen kann zeigt dass es sich um einen Spezialfall des Integralsatzes von Cauchy ( Cauchyscher Integralsatz ) handelt: Sei f(z) eine stetig differenzierbare Funktion in einem einfach zusammenhängenden offenen Gebiet Ebene dann ist für jede stückweise stetig geschlossene Kurve das Integral über f(z) entlang Kurve gleich 0.

Weitere Eigenschaften des Integrals:

Berechnung von Stammfunktionen

Im Gegensatz zur Berechnung der Ableitungsfunktion die Berechnung der Stammfunktion bei vielen Funktionen schwer oder nicht möglich.

Oft schlägt man Integrale in Tabellenwerken Für einfache Fälle siehe unsere Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen .

Partielle Integration

Die partielle Integration ist die Umkehrung Produktregel der Differentialrechnung.

<math>(u \cdot v)' = u \cdot v' u' \cdot v</math>
<math>u' \cdot v = (u \cdot v)' u \cdot v'</math>
<math>\int u' \cdot v \ \mathrm{d}x = (u \cdot v)' \ \mathrm{d}x - \int \cdot v' \ \mathrm{d}x</math>
<math>\int u' \cdot v \ \mathrm{d}x = \cdot v - \int u \cdot v' \mathrm{d}x</math>

Folglich gilt:

<math>\int_a^b f(x)g'(x)\ \mathrm{d}x = f(b)g(b) - f(a)g(a)
 - \int_a^b f'(x)g(x)\ \mathrm{d}x</math>  
oder das Selbe wie man es vielen Mathebüchern finden kann:
<math>\int_a^b f(x)g'(x)\ \mathrm{d}x = [f(x)g(x)]_{a}^{b}
 - \int_a^b f'(x)g(x)\ \mathrm{d}x</math>  

Diese Regel ist insbesondere dann von wenn durch Ableiten von f(x) eine einfachere entsteht.

Beispiel:

<math>\int_a^b x \ln x \ \mathrm{d}x</math>
Setzt man
<math>f(x) = \ln x</math> und <math>g'(x)=x</math>
so ist
<math>f '(x) = 1/x</math> und <math>g(x)=x^2/2</math>
und man erhält
<math>\int_a^b x \ln x \ \mathrm{d}x = \ln b - a^2/2 \ln a
 - \int_a^b x^2/2 \cdot 1/x \  
<math> = b^2/2 (\ln b - 1/2) a^2/2 (\ln a - 1/2)</math>

Integration durch Substitution

Sei <math>f(x) = g( v(x) ) v'(x)</math> und G eine Stammfunktion von g ist <math>F(x) = G( v(x) )</math> und eine Stammfunktion von F denn:

<math>\begin{matrix} f(x) &=& f( g(x) )& & &=&g(x)\\
\ &=& f( z )& & &=& g'(x)\ \mathrm{d}x\end{matrix}</math>
<math>\int_a^b f( g(x) ) \cdot g'(x)\ \mathrm{d}x \int_{g(a)}^{g(b)} f( z ) \cdot g'(x) \frac{\ = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\ \mathrm{d}x</math>

Das Erraten geeigneter Substitutionen ist vor Erfahrungssache.

Bei gewissen Integralen wie

<math>\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ \mathrm{d}x</math>
kann man Winkelfunktionen und den trigonometrischen nutzen.
<math>x = \sin t \qquad (\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = t)</math>
<math>\sqrt{1 - \sin^2 x} = \cos x</math>
<math>\int \frac{1}{\cos t} \cdot \cos t\ \mathrm{d}t \int 1\ \mathrm{d}t</math>
Es ist darauf zu achten dass Grenzen des Integrals nun nicht mehr für sondern für dt gelten (<math>t = acos(x)</math>).

Vereinfachung durch Partialbruchzerlegung

Bei gebrochenrationalen Funktionen führt häufig eine Polynomdivision oder eine Partialbruchzerlegung zu einer Umformung der Funktion die erlaubt eine der Integrationsregeln anzuwenden.

Numerische Quadratur

Oft ist es schwierig oder nicht eine Stammfunktion anzugeben. Allerdings reicht es in Fällen auch aus die Fläche näherungsweise zu Verfahren zur numerischen Quadratur bauen auf einer Approximation der Funktion einfacher integrierbare Funktionen zum Beispiel Polynome. Die Trapezregel oder auch die Simpsonsche Formel sind Beispiele dafür.

Anwendungen der Integralrechnung


Zusätzlich zu Berechnung von Flächen hat Integralrechung unter anderem folgende Anwendungsgebiete:

Berechnung



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