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Interpolation


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Interpolation bezeichnet ein Verfahren bei dem aus Informationen neue gewonnen und hinzugerechnet werden. Dies in unterschiedlichsten Bereichen (zum Beispiel Grafik Soundverarbeitung Statistik Numerik ) statt. Wichtiger Unterschied der Interpolation zur Extrapolation ist dass die errechneten Werte die in sich selbst ergänzen aber nicht über Ursprüngliche hinausgehen.

Grafik

Im Bereich der Grafik unterscheidet man Interpolationsverfahren . Das Bekannteste ist die Interpolation der Auflösung . Dazu werden aus umliegenden Bildpunkten unter Zuhilfenahme derer Farbwerte neue Bildpunkte Es ergibt sich ein Bild mit höherer Bildauflösung aber zum Preis des Verlustes von Dieser Verlust erklärt sich daraus dass die der neu hinzugekommenen Bildpunkte nicht gesichert sind sondern nur geschätzt errechnet wurden. Eine bekannte Anwendung dieses Interpolationsverfahrens ist die Kantenglättung auch Antialiasings genannt mit welcher der so genannte bekämpft wird. Im folgenden wird die Interpolation grafisch erklärt.

Bild mit 27*9 Bildpunkten :
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Nun werden wir die Bildauflösung per Interpolation verdoppeln:
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Das Bild hat nun 54*18 Bildpunkte . Indem wir wieder Interpolieren diesmal allerdings die Farbwerte können wir noch deutlicher gewordenen Treppcheneffekt bekämpfen.
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Wie wir an dem Beispiel sehen ist die Steigung weicher geworden allerdings sind Farbwerte verwandt worden die vorher dort nicht und eine Zwischenstufe zwischen den schon vorhandenen darstellen. Das Weicherwerden der Steigung bewirkt eine Unschärfe. Interpolation kann also keine Informationen herbeizaubern welche nicht vorhanden waren. Das ist auch der warum man Bilder nicht beliebig ohne Qualitätsverlust kann.

Die Grafiken können übrigens auch einen aus der Statistik darstellen. Man hätte in Fall also per Interpolation Zwischenwerte berechnet. Auch hier gilt wieder Werte sind nicht real. Wenn man annimmt jede Spalte einem Monat eines Jahres entspricht erste Spalte Januar zweite Spalte März dritte Mai usw. für das erste Bild) dann man mit nichten daraus die Werte der Monate mit absoluter Sicherheit folgern (im zweiten zeigen die Spalten zwei vier und sechs also nicht die realen Werte der Monate April und Juni) sondern diese nur in Abschätzen. Diese Abschätzung kann sehr wohl total liegen.

In dieser oder abgeänderter Form kann überall dort angewendet werden wo exakte sprich digitale Werte für etwas vorliegen.

Numerische Mathematik

Hier definiert man ein Interpolationsproblem folgendermaßen: sind eine Anzahl an n Funktionswerten <math>(x_{i} f(x_{i}))</math>. Gesucht ist eine Funktion die alle diese Funktionswerte erfüllt. Nun man diese Aufgabe mit Funktionen zu erfüllen in gewisse Weise günstige Eigenschaften haben. Ist Handhabung das Ziel so bietet sich die mit Polynomen an (siehe Polynominterpolation ). Für andere Probleme ist auch die der Lösungsfunktion wichtig dann bietet sich die an also die Interpolation mit stückweise stetigen

Je nach Art der Ansatzfunktionen wird Interpolationsaufgabe unterschiedlich gelöst.



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