Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenFreitag, 19. Juli 2019 

Kardinalzahl (Mathematik)


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.

Beim Zählen benutzt man Kardinalzahlen um die "Größe" von Mengen zu " Eins zwei drei ... Elemente". Sprachlich benutzt man dazu Zahlwörter .

Der Mathematiker Georg Cantor beschrieb wie man dieses Konzept innerhalb Mengenlehre auf unendliche Mengen verallgemeinern kann und wie man mit unendlichen Kardinalzahlen rechnen kann.

Eine natürliche Zahl kann für zwei Zwecke benutzt werden: einen um die Anzahl der Elemente einer (endlichen) Menge zu beschreiben und anderen um die Position eines Elements in einer geordneten Menge anzugeben. Während beiden Konzepte für endliche Mengen übereinstimmen muss sie für unendliche Mengen unterscheiden. Die Beschreibung Position in einer geordneten Menge führt zum der Ordinalzahl während die Größenangabe zu Kardinalzahlen führt hier beschrieben sind.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Wie im Artikel Mächtigkeit dargestellt heißen zwei Mengen X und Y gleichmächtig wenn es eine Bijektion von X nach Y gibt man schreibt dann | X | = | Y |. Die Gleichmächtigkeit von Mengen ist eine Äquivalenzrelation und man definiert:

Die Äquivalenzklasse | X | der Menge X bezüglich der Relation der Gleichmächtigkeit nennt die Kardinalzahl | X |.

Indem man zeigt dass jede Menge zu einer Ordinalzahl ist (dies folgt aus dem Wohlordnungssatz ) kann man die Kardinalzahl | A | mit der kleinsten zu A gleichmächtigen Ordinalzahl gleichsetzen.

Motivation

Anschaulich dienen Kardinalzahlen dazu die "Größe" Mengen zu vergleichen ohne sich auf das ihrer Elemente beziehen zu müssen. Für endliche ist das leicht: Man zählt einfach die der Elemente. Um unendliche Mengen zu vergleichen man etwas mehr Arbeit um ihre Mächtigkeit charakterisieren.

Im folgenden werden die Begriffe höchstens gleichmächtig und weniger mächtig benötigt:

Wenn es eine Bijektion f von A auf eine Teilmenge von B gibt dann heißt A höchstens gleichmächtig zu B . Man schreibt dann | A | <= | B |.

Wenn es eine Bijektion f von A auf eine Teilmenge von B gibt aber keine Bijektion von A nach B existiert dann heißt A weniger mächtig als B und B mächtiger als A . Man schreibt dann | A | < | B |.

Diese Begriffe werden im Artikel Mächtigkeit näher erläutert.

Zum Beispiel gilt für endliche Mengen echte Teilmengen weniger mächtig sind als die gesamte dagegen wird im Artikel Hilberts Hotel an einem Beispiel veranschaulicht dass unendliche echte Teilmengen haben die zu ihnen gleichmächtig

Bei der Untersuchung dieser "großen" Mengen sich die Frage ob gleichmächtige geordnete Mengen "zusammenpassende" Ordnungen haben. Es stellt sich heraus das für unendliche Mengen nicht so ist unterscheidet sich die gewöhnliche Ordnung der natürlichen Zahlen N = {1 < 2 < 3 ...} von der geordneten Menge A := {1 < 2 < 3 ... < 1'}. Die Menge A ist gleichmächtig zu N (bilde 1 auf 2 2 auf ... 1' auf 1 ab) aber in A gibt es im Gegensatz zu N ein größtes Element. Berücksichtigt man die von Mengen kommt man zu Ordinalzahlen . (Die Ordinalzahl von N heißt ω und die von A heißt ω+1.)

Eigenschaften

Im Artikel Mächtigkeit wird gezeigt dass die Kardinalzahlen total geordnet sind.

Die Menge X und die Kardinalzahl | X | heißen unendlich wenn X eine echte Teilmenge Y hat mit | X | = | Y |. Eine nicht unendliche Menge bzw. Kardinalzahl endlich .

Man kann zeigen dass die endlichen genau den natürlichen Zahlen entsprechen d.h. eine X ist genau dann endlich wenn | X | = | n | = n für eine natürliche Zahl n (die Schreibweise | n | wird im Artikel Ordinalzahl motiviert indem n als n -elementige Menge aufgefasst wird). Man kann auch dass die Kardinalzahl <math>\aleph_0</math> ( aleph 0 ; s. Hebräisches Alphabet ) der Menge N die kleinste unendliche Kardinalzahl ist. Die Kardinalzahl ist <math>\aleph_1</math> (unter der Annahme der Kontinuumshypothese ist <math>\aleph_1 = |R|</math>). Für jede a gibt es eine a -te Kardinalzahl <math>\aleph_a</math> und jede Kardinalzahl wird erreicht. Da die Ordinalzahlen eine echte Klasse bilden ist auch die Klasse der echt.

Man beachte dass ohne das Auswahlaxiom Mengen existieren die nicht wohlgeordnet werden können und die im Abschnitt Definition angegebene Gleichsetzung von Kardinalzahlen mit bestimmten nicht funktioniert. Man kann Kardinalzahlen dann trotzdem Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen definieren diese sind dann nur noch halbgeordnet da verschiedene Kardinalzahlen nicht mehr vergleichbar müssen (diese Forderung ist äquivalent zum Auswahlaxiom). kann aber auch die Mächtigkeit von Mengen ohne Kardinalzahlen überhaupt zu benutzen.

Rechenoperationen

Sind X und Y disjunkte Mengen dann definiert man

  • | X | + | Y | := | X vereinigt mit Y |
  • | X | · | Y | := | X × Y |
  • | X | | Y | := | X Y |.
Dabei ist X × Y ein kartesisches Produkt und X Y die Menge aller Funktionen von Y nach X .

Man kann zeigen dass diese Verknüpfungen natürliche Zahlen mit den üblichen Rechenoperationen übereinstimmen. gilt für alle Mengen X Y Z :

  • Addition und Multiplikation sind assoziativ und kommutativ .
  • Addition und Multiplikation erfüllen das Distributivgesetz .
  • Es gelten die Potenzgesetze | X | | Y | + | Z | = | X | | Y | · | X | | Z | und | X | | Y | · | Z | = (| X | | Y | ) | Z | .

Die Addition und Multiplikation unendlicher Kardinalzahlen (unter Voraussetzung des Auswahlaxioms) leicht: Ist X oder Y unendlich und beide Mengen nichtleer dann

| X | + | Y | = | X | · | Y | = max{| X | | Y |}

Keine Kardinalzahl außer 0 hat ein (ein additiv inverses Element ) also bilden die Kardinalzahlen mit der keine Gruppe und erst recht keinen Ring .

Es ist 2 | X | gleich der Mächtigkeit der Potenzmenge P( X ) von X und Cantors Diagonalbeweis (ausgeführt im Artikel Mächtigkeit Abschnitt Größte Mächtigkeit ) zeigt dass 2 | X | > | X | für jede Menge X ist. Daraus folgt dass es keine Kardinalzahl gibt.

Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt dass jede unendliche Menge X zwischen den Kardinalzahlen | X | und 2 | X | keine weiteren Kardinalzahlen liegen. Die einfache Kontinuumshypothese (CH) macht diese Behauptung für den X = N . Sie ist unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zusammen mit dem Auswahlaxiom (ZFC).



Bücher zum Thema Kardinalzahl (Mathematik)

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Kardinalzahl_(Mathematik).html">Kardinalzahl (Mathematik) </a>