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Kartesisches Produkt


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Definition

In der Mathematik bezeichnet man als kartesisches Produkt (geschrieben als A × B ) zweier Mengen A und B die Menge aller geordneten Paare ( a b ) wobei a aus A und b aus B ist.

<math>A \times B := \left\{(a b)|a \in b \in B\right\}</math>

Eine Verallgemeinerung ist das kartesische Produkt n Mengen A 1 ... A n es besteht aus allen n - Tupeln ( a 1 ... a n ) mit a i aus A i man schreibt es als A 1 × ... × A n oder als

<math>\prod_{i=1}^n A_i = A_1 \times ... \times := \left\{(a_1 ... a_n)| a_i \in A_i i = 1 ... n \right\}</math>

Das n -fache kartesische Produkt bei dem alle A i gleich A sind schreibt man auch als A n .

<math>A^n := \prod_{i=1}^n A</math>

Beispiele

Sei A ={ a b c } und B ={ x y }. Dann ist: A × B = {( a x ) ( a y ) ( b x ) ( b y ) ( c x ) ( c y )}.

Sei A ={0 1} dann ist A 3 = A × A × A = {(0 0 0) (0 0 (0 1 0) (0 1 1) (1 0) (1 0 1) (1 1 0) 1 1)}.

Der dreidimensionale Vektorraum R 3 besteht aus dem dreifachen kartesischen Produkt R .

Etymologie

Kartesisch oder kartesianisch kommt von R. Cartesius ( Rene Descartes ) und bedeutet allgemein von Cartesius eingeführt oder speziell im Fall des Produkts bzw. der Koordinaten rechtwinklig.



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